Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76297 / 58649
↖ ↑ ↗
← N 18.581173°
E 29.555969°		 ← 289.44 m → N 18.581173°
E 29.558716°		 →
↑
289.50 m
↓
↑
289.50 m
↓
N 18.578569°
E 29.555969°		 ← 289.45 m →
83 794 m²		 N 18.578569°
E 29.558716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582103729248047 y=0.447460174560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582103729248047 × 217)
    floor (0.582103729248047 × 131072)
    floor (76297.5)     		tx = 76297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447460174560547 × 217)
    floor (0.447460174560547 × 131072)
    floor (58649.5)     		ty = 58649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76297 / 58649 ti = "17/76297/58649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76297/58649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76297 ÷ 217
    76297 ÷ 131072     		x = 0.582099914550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58649 ÷ 217
    58649 ÷ 131072     		y = 0.447456359863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582099914550781 × 2 - 1) × π
    0.164199829101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.51584898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447456359863281 × 2 - 1) × π
    0.105087280273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.330141427683327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51584898} λ = 0.51584898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.330141427683327))-π/2
    2×atan(1.39116486377535)-π/2
    2×0.947549481123058-π/2
    1.89509896224612-1.57079632675     		φ = 0.32430264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51584898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.555969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32430264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.581173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76297 KachelY 58649 0.51584898 0.32430264 29.555969 18.581173
    Oben rechts KachelX + 1 76298 KachelY 58649 0.51589691 0.32430264 29.558716 18.581173
    Unten links KachelX 76297 KachelY + 1 58650 0.51584898 0.32425720 29.555969 18.578569
    Unten rechts KachelX + 1 76298 KachelY + 1 58650 0.51589691 0.32425720 29.558716 18.578569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32430264-0.32425720) × R
    4.54399999999522e-05 × 6371000     		dl = 289.498239999695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32430264-0.32425720) × R
    4.54399999999522e-05 × 6371000     		dr = 289.498239999695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51584898-0.51589691) × cos(0.32430264) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.94787316914521 × 6371000     		do = 289.444475112892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51584898-0.51589691) × cos(0.32425720) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.947887647525135 × 6371000     		du = 289.448896260377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32430264)-sin(0.32425720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94787316914521-0.947887647525135)×R²
    abs(0.51589691-0.51584898)×1.44783799248538e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.44783799248538e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.44783799248538e-05×40589641000000     		ar = 83794.3060944503m²