Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76296 / 59368
↖ ↑ ↗
← N 16.699340°
E 29.553223°		 ← 292.54 m → N 16.699340°
E 29.555969°		 →
↑
292.56 m
↓
↑
292.56 m
↓
N 16.696709°
E 29.553223°		 ← 292.55 m →
85 586 m²		 N 16.696709°
E 29.555969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582096099853516 y=0.452945709228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582096099853516 × 217)
    floor (0.582096099853516 × 131072)
    floor (76296.5)     		tx = 76296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452945709228516 × 217)
    floor (0.452945709228516 × 131072)
    floor (59368.5)     		ty = 59368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76296 / 59368 ti = "17/76296/59368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76296/59368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76296 ÷ 217
    76296 ÷ 131072     		x = 0.58209228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59368 ÷ 217
    59368 ÷ 131072     		y = 0.45294189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58209228515625 × 2 - 1) × π
    0.1641845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51580104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45294189453125 × 2 - 1) × π
    0.0941162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.295674796856506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51580104} λ = 0.51580104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.295674796856506))-π/2
    2×atan(1.34403300199663)-π/2
    2×0.931127398395619-π/2
    1.86225479679124-1.57079632675     		φ = 0.29145847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51580104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.553223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29145847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.699340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76296 KachelY 59368 0.51580104 0.29145847 29.553223 16.699340
    Oben rechts KachelX + 1 76297 KachelY 59368 0.51584898 0.29145847 29.555969 16.699340
    Unten links KachelX 76296 KachelY + 1 59369 0.51580104 0.29141255 29.553223 16.696709
    Unten rechts KachelX + 1 76297 KachelY + 1 59369 0.51584898 0.29141255 29.555969 16.696709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29145847-0.29141255) × R
    4.59200000000326e-05 × 6371000     		dl = 292.556320000208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29145847-0.29141255) × R
    4.59200000000326e-05 × 6371000     		dr = 292.556320000208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51580104-0.51584898) × cos(0.29145847) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.957825803762065 × 6371000     		do = 292.544654904932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51580104-0.51584898) × cos(0.29141255) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.957838997840803 × 6371000     		du = 292.548684716194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29145847)-sin(0.29141255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957825803762065-0.957838997840803)×R²
    abs(0.51584898-0.51580104)×1.31940787376772e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.31940787376772e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.31940787376772e-05×40589641000000     		ar = 85586.3771631174m²