Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76295 / 58772
↖ ↑ ↗
← N 18.260653°
E 29.550476°		 ← 290.04 m → N 18.260653°
E 29.553223°		 →
↑
290.01 m
↓
↑
290.01 m
↓
N 18.258045°
E 29.550476°		 ← 290.05 m →
84 116 m²		 N 18.258045°
E 29.553223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582088470458984 y=0.448398590087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582088470458984 × 217)
    floor (0.582088470458984 × 131072)
    floor (76295.5)     		tx = 76295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448398590087891 × 217)
    floor (0.448398590087891 × 131072)
    floor (58772.5)     		ty = 58772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76295 / 58772 ti = "17/76295/58772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76295/58772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76295 ÷ 217
    76295 ÷ 131072     		x = 0.582084655761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58772 ÷ 217
    58772 ÷ 131072     		y = 0.448394775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582084655761719 × 2 - 1) × π
    0.164169311523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.51575310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448394775390625 × 2 - 1) × π
    0.10321044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.32424518903006
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51575310} λ = 0.51575310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.32424518903006))-π/2
    2×atan(1.38298635863578)-π/2
    2×0.944752425713442-π/2
    1.88950485142688-1.57079632675     		φ = 0.31870852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51575310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.550476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31870852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.260653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76295 KachelY 58772 0.51575310 0.31870852 29.550476 18.260653
    Oben rechts KachelX + 1 76296 KachelY 58772 0.51580104 0.31870852 29.553223 18.260653
    Unten links KachelX 76295 KachelY + 1 58773 0.51575310 0.31866300 29.550476 18.258045
    Unten rechts KachelX + 1 76296 KachelY + 1 58773 0.51580104 0.31866300 29.553223 18.258045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31870852-0.31866300) × R
    4.55200000000211e-05 × 6371000     		dl = 290.007920000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31870852-0.31866300) × R
    4.55200000000211e-05 × 6371000     		dr = 290.007920000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51575310-0.51580104) × cos(0.31870852) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.949640882766672 × 6371000     		do = 290.044769353746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51575310-0.51580104) × cos(0.31866300) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.949655145036906 × 6371000     		du = 290.049125418186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31870852)-sin(0.31866300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949640882766672-0.949655145036906)×R²
    abs(0.51580104-0.51575310)×1.42622702341555e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.42622702341555e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.42622702341555e-05×40589641000000     		ar = 84115.9119283544m²