Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76294 / 58870
↖ ↑ ↗
← N 18.004856°
E 29.547730°		 ← 290.41 m → N 18.004856°
E 29.550476°		 →
↑
290.45 m
↓
↑
290.45 m
↓
N 18.002244°
E 29.547730°		 ← 290.41 m →
84 351 m²		 N 18.002244°
E 29.550476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582080841064453 y=0.449146270751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582080841064453 × 217)
    floor (0.582080841064453 × 131072)
    floor (76294.5)     		tx = 76294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449146270751953 × 217)
    floor (0.449146270751953 × 131072)
    floor (58870.5)     		ty = 58870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76294 / 58870 ti = "17/76294/58870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76294/58870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76294 ÷ 217
    76294 ÷ 131072     		x = 0.582077026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58870 ÷ 217
    58870 ÷ 131072     		y = 0.449142456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582077026367188 × 2 - 1) × π
    0.164154052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51570517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449142456054688 × 2 - 1) × π
    0.101715087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.319547372867294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51570517} λ = 0.51570517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319547372867294))-π/2
    2×atan(1.37650457999033)-π/2
    2×0.942520171426847-π/2
    1.88504034285369-1.57079632675     		φ = 0.31424402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51570517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.547730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31424402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.004856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76294 KachelY 58870 0.51570517 0.31424402 29.547730 18.004856
    Oben rechts KachelX + 1 76295 KachelY 58870 0.51575310 0.31424402 29.550476 18.004856
    Unten links KachelX 76294 KachelY + 1 58871 0.51570517 0.31419843 29.547730 18.002244
    Unten rechts KachelX + 1 76295 KachelY + 1 58871 0.51575310 0.31419843 29.550476 18.002244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31424402-0.31419843) × R
    4.55900000000398e-05 × 6371000     		dl = 290.453890000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31424402-0.31419843) × R
    4.55900000000398e-05 × 6371000     		dr = 290.453890000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51570517-0.51575310) × cos(0.31424402) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.951030322254872 × 6371000     		do = 290.408549794807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51570517-0.51575310) × cos(0.31419843) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.951044413026105 × 6371000     		du = 290.412852581315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31424402)-sin(0.31419843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951030322254872-0.951044413026105)×R²
    abs(0.51575310-0.51570517)×1.4090771232711e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.4090771232711e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.4090771232711e-05×40589641000000     		ar = 84350.9178723579m²