Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76294 / 58774
↖ ↑ ↗
← N 18.255437°
E 29.547730°		 ← 289.99 m → N 18.255437°
E 29.550476°		 →
↑
290.07 m
↓
↑
290.07 m
↓
N 18.252828°
E 29.547730°		 ← 290 m →
84 119 m²		 N 18.252828°
E 29.550476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582080841064453 y=0.448413848876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582080841064453 × 217)
    floor (0.582080841064453 × 131072)
    floor (76294.5)     		tx = 76294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448413848876953 × 217)
    floor (0.448413848876953 × 131072)
    floor (58774.5)     		ty = 58774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76294 / 58774 ti = "17/76294/58774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76294/58774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76294 ÷ 217
    76294 ÷ 131072     		x = 0.582077026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58774 ÷ 217
    58774 ÷ 131072     		y = 0.448410034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582077026367188 × 2 - 1) × π
    0.164154052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51570517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448410034179688 × 2 - 1) × π
    0.103179931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.32414931523082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51570517} λ = 0.51570517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.32414931523082))-π/2
    2×atan(1.38285377283514)-π/2
    2×0.944706902190116-π/2
    1.88941380438023-1.57079632675     		φ = 0.31861748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51570517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.547730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31861748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.255437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76294 KachelY 58774 0.51570517 0.31861748 29.547730 18.255437
    Oben rechts KachelX + 1 76295 KachelY 58774 0.51575310 0.31861748 29.550476 18.255437
    Unten links KachelX 76294 KachelY + 1 58775 0.51570517 0.31857195 29.547730 18.252828
    Unten rechts KachelX + 1 76295 KachelY + 1 58775 0.51575310 0.31857195 29.550476 18.252828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31861748-0.31857195) × R
    4.55300000000158e-05 × 6371000     		dl = 290.071630000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31861748-0.31857195) × R
    4.55300000000158e-05 × 6371000     		dr = 290.071630000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51570517-0.51575310) × cos(0.31861748) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.949669405339388 × 6371000     		do = 289.992977442834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51570517-0.51575310) × cos(0.31857195) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.949683666806195 × 6371000     		du = 289.997332353289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31861748)-sin(0.31857195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949669405339388-0.949683666806195)×R²
    abs(0.51575310-0.51570517)×1.42614668069418e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.42614668069418e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.42614668069418e-05×40589641000000     		ar = 84119.3672878951m²