Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76292 / 58876
↖ ↑ ↗
← N 17.989183°
E 29.542236°		 ← 290.49 m → N 17.989183°
E 29.544983°		 →
↑
290.52 m
↓
↑
290.52 m
↓
N 17.986570°
E 29.542236°		 ← 290.50 m →
84 395 m²		 N 17.986570°
E 29.544983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582065582275391 y=0.449192047119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582065582275391 × 217)
    floor (0.582065582275391 × 131072)
    floor (76292.5)     		tx = 76292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449192047119141 × 217)
    floor (0.449192047119141 × 131072)
    floor (58876.5)     		ty = 58876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76292 / 58876 ti = "17/76292/58876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76292/58876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76292 ÷ 217
    76292 ÷ 131072     		x = 0.582061767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58876 ÷ 217
    58876 ÷ 131072     		y = 0.449188232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582061767578125 × 2 - 1) × π
    0.16412353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51560929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449188232421875 × 2 - 1) × π
    0.10162353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.319259751469574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51560929} λ = 0.51560929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319259751469574))-π/2
    2×atan(1.37610872475001)-π/2
    2×0.942383397013353-π/2
    1.88476679402671-1.57079632675     		φ = 0.31397047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51560929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.542236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31397047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.989183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76292 KachelY 58876 0.51560929 0.31397047 29.542236 17.989183
    Oben rechts KachelX + 1 76293 KachelY 58876 0.51565723 0.31397047 29.544983 17.989183
    Unten links KachelX 76292 KachelY + 1 58877 0.51560929 0.31392487 29.542236 17.986570
    Unten rechts KachelX + 1 76293 KachelY + 1 58877 0.51565723 0.31392487 29.544983 17.986570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31397047-0.31392487) × R
    4.5599999999979e-05 × 6371000     		dl = 290.517599999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31397047-0.31392487) × R
    4.5599999999979e-05 × 6371000     		dr = 290.517599999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51560929-0.51565723) × cos(0.31397047) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95111484031961 × 6371000     		do = 290.494953929408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51560929-0.51565723) × cos(0.31392487) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951128922317732 × 6371000     		du = 290.499254934105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31397047)-sin(0.31392487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95111484031961-0.951128922317732)×R²
    abs(0.51565723-0.51560929)×1.40819981218065e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40819981218065e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40819981218065e-05×40589641000000     		ar = 84394.5216010433m²