Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76292 / 58716
↖ ↑ ↗
← N 18.406655°
E 29.542236°		 ← 289.80 m → N 18.406655°
E 29.544983°		 →
↑
289.82 m
↓
↑
289.82 m
↓
N 18.404048°
E 29.542236°		 ← 289.80 m →
83 990 m²		 N 18.404048°
E 29.544983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582065582275391 y=0.447971343994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582065582275391 × 217)
    floor (0.582065582275391 × 131072)
    floor (76292.5)     		tx = 76292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447971343994141 × 217)
    floor (0.447971343994141 × 131072)
    floor (58716.5)     		ty = 58716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76292 / 58716 ti = "17/76292/58716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76292/58716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76292 ÷ 217
    76292 ÷ 131072     		x = 0.582061767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58716 ÷ 217
    58716 ÷ 131072     		y = 0.447967529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582061767578125 × 2 - 1) × π
    0.16412353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51560929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447967529296875 × 2 - 1) × π
    0.10406494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.326929655408783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51560929} λ = 0.51560929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.326929655408783))-π/2
    2×atan(1.38670392662841)-π/2
    2×0.946026527910827-π/2
    1.89205305582165-1.57079632675     		φ = 0.32125673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51560929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.542236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32125673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.406655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76292 KachelY 58716 0.51560929 0.32125673 29.542236 18.406655
    Oben rechts KachelX + 1 76293 KachelY 58716 0.51565723 0.32125673 29.544983 18.406655
    Unten links KachelX 76292 KachelY + 1 58717 0.51560929 0.32121124 29.542236 18.404048
    Unten rechts KachelX + 1 76293 KachelY + 1 58717 0.51565723 0.32121124 29.544983 18.404048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32125673-0.32121124) × R
    4.54899999999814e-05 × 6371000     		dl = 289.816789999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32125673-0.32121124) × R
    4.54899999999814e-05 × 6371000     		dr = 289.816789999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51560929-0.51565723) × cos(0.32125673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.948839343355767 × 6371000     		do = 289.799958585359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51560929-0.51565723) × cos(0.32121124) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94885370626206 × 6371000     		du = 289.804345386642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32125673)-sin(0.32121124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948839343355767-0.94885370626206)×R²
    abs(0.51565723-0.51560929)×1.4362906292642e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4362906292642e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4362906292642e-05×40589641000000     		ar = 83989.529438158m²