Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76291 / 58885
↖ ↑ ↗
← N 17.965670°
E 29.539490°		 ← 290.47 m → N 17.965670°
E 29.542236°		 →
↑
290.52 m
↓
↑
290.52 m
↓
N 17.963058°
E 29.539490°		 ← 290.48 m →
84 388 m²		 N 17.963058°
E 29.542236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582057952880859 y=0.449260711669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582057952880859 × 217)
    floor (0.582057952880859 × 131072)
    floor (76291.5)     		tx = 76291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449260711669922 × 217)
    floor (0.449260711669922 × 131072)
    floor (58885.5)     		ty = 58885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76291 / 58885 ti = "17/76291/58885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76291/58885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76291 ÷ 217
    76291 ÷ 131072     		x = 0.582054138183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58885 ÷ 217
    58885 ÷ 131072     		y = 0.449256896972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582054138183594 × 2 - 1) × π
    0.164108276367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.51556136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449256896972656 × 2 - 1) × π
    0.101486206054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.318828319372993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51556136} λ = 0.51556136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.318828319372993))-π/2
    2×atan(1.37551515532943)-π/2
    2×0.942178212614778-π/2
    1.88435642522956-1.57079632675     		φ = 0.31356010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51556136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.539490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31356010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.965670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76291 KachelY 58885 0.51556136 0.31356010 29.539490 17.965670
    Oben rechts KachelX + 1 76292 KachelY 58885 0.51560929 0.31356010 29.542236 17.965670
    Unten links KachelX 76291 KachelY + 1 58886 0.51556136 0.31351450 29.539490 17.963058
    Unten rechts KachelX + 1 76292 KachelY + 1 58886 0.51560929 0.31351450 29.542236 17.963058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31356010-0.31351450) × R
    4.56000000000345e-05 × 6371000     		dl = 290.51760000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31356010-0.31351450) × R
    4.56000000000345e-05 × 6371000     		dr = 290.51760000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51556136-0.51560929) × cos(0.31356010) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.951241497848216 × 6371000     		do = 290.47303480335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51556136-0.51560929) × cos(0.31351450) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.951255562046931 × 6371000     		du = 290.47732947562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31356010)-sin(0.31351450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951241497848216-0.951255562046931)×R²
    abs(0.51560929-0.51556136)×1.40641987146362e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.40641987146362e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.40641987146362e-05×40589641000000     		ar = 84388.1527894593m²