Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76290 / 58882
↖ ↑ ↗
← N 17.973508°
E 29.536743°		 ← 290.52 m → N 17.973508°
E 29.539490°		 →
↑
290.45 m
↓
↑
290.45 m
↓
N 17.970896°
E 29.536743°		 ← 290.53 m →
84 384 m²		 N 17.970896°
E 29.539490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582050323486328 y=0.449237823486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582050323486328 × 217)
    floor (0.582050323486328 × 131072)
    floor (76290.5)     		tx = 76290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449237823486328 × 217)
    floor (0.449237823486328 × 131072)
    floor (58882.5)     		ty = 58882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76290 / 58882 ti = "17/76290/58882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76290/58882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76290 ÷ 217
    76290 ÷ 131072     		x = 0.582046508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58882 ÷ 217
    58882 ÷ 131072     		y = 0.449234008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582046508789062 × 2 - 1) × π
    0.164093017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51551342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449234008789062 × 2 - 1) × π
    0.101531982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.318972130071854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51551342} λ = 0.51551342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.318972130071854))-π/2
    2×atan(1.37571298334976)-π/2
    2×0.942246610449888-π/2
    1.88449322089978-1.57079632675     		φ = 0.31369689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51551342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.536743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31369689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.973508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76290 KachelY 58882 0.51551342 0.31369689 29.536743 17.973508
    Oben rechts KachelX + 1 76291 KachelY 58882 0.51556136 0.31369689 29.539490 17.973508
    Unten links KachelX 76290 KachelY + 1 58883 0.51551342 0.31365130 29.536743 17.970896
    Unten rechts KachelX + 1 76291 KachelY + 1 58883 0.51556136 0.31365130 29.539490 17.970896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31369689-0.31365130) × R
    4.55899999999843e-05 × 6371000     		dl = 290.4538899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31369689-0.31365130) × R
    4.55899999999843e-05 × 6371000     		dr = 290.4538899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51551342-0.51556136) × cos(0.31369689) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95119929647012 × 6371000     		do = 290.520749011675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51551342-0.51556136) × cos(0.31365130) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951213363516895 × 6371000     		du = 290.525045449846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31369689)-sin(0.31365130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95119929647012-0.951213363516895)×R²
    abs(0.51556136-0.51551342)×1.40670467752013e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40670467752013e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40670467752013e-05×40589641000000     		ar = 84383.5056494314m²