Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7629 / 7237
↖ ↑ ↗
← S 79.726446°
E155.258789°		 ← 871.50 m → S 79.726446°
E155.302734°		 →
↑
871.17 m
↓
↑
871.17 m
↓
S 79.734280°
E155.258789°		 ← 870.84 m →
758 936 m²		 S 79.734280°
E155.302734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93133544921875 y=0.88348388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93133544921875 × 213)
    floor (0.93133544921875 × 8192)
    floor (7629.5)     		tx = 7629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.88348388671875 × 213)
    floor (0.88348388671875 × 8192)
    floor (7237.5)     		ty = 7237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7629 / 7237 ti = "13/7629/7237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7629/7237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7629 ÷ 213
    7629 ÷ 8192     		x = 0.9312744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7237 ÷ 213
    7237 ÷ 8192     		y = 0.8834228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9312744140625 × 2 - 1) × π
    0.862548828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70977706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8834228515625 × 2 - 1) × π
    -0.766845703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.40911682730554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70977706} λ = 2.70977706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40911682730554))-π/2
    2×atan(0.0898946520259685)-π/2
    2×0.0896536716956847-π/2
    0.179307343391369-1.57079632675     		φ = -1.39148898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70977706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.258789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39148898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.726446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7629 KachelY 7237 2.70977706 -1.39148898 155.258789 -79.726446
    Oben rechts KachelX + 1 7630 KachelY 7237 2.71054405 -1.39148898 155.302734 -79.726446
    Unten links KachelX 7629 KachelY + 1 7238 2.70977706 -1.39162572 155.258789 -79.734280
    Unten rechts KachelX + 1 7630 KachelY + 1 7238 2.71054405 -1.39162572 155.302734 -79.734280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39148898--1.39162572) × R
    0.000136739999999858 × 6371000     		dl = 871.170539999092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39148898--1.39162572) × R
    0.000136739999999858 × 6371000     		dr = 871.170539999092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70977706-2.71054405) × cos(-1.39148898) × R
    0.000766990000000245 × 0.178348068046814 × 6371000     		do = 871.496637795501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70977706-2.71054405) × cos(-1.39162572) × R
    0.000766990000000245 × 0.178213518669095 × 6371000     		du = 870.839163164101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39148898)-sin(-1.39162572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178348068046814-0.178213518669095)×R²
    abs(2.71054405-2.70977706)×0.000134549377719423×R²
    0.000766990000000245×0.000134549377719423×6371000²
    0.000766990000000245×0.000134549377719423×40589641000000     		ar = 758935.811474364m²