Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7629 / 5050
↖ ↑ ↗
← N 56.632063°
W 12.370606°		 ← 1 343.84 m → N 56.632063°
W 12.348633°		 →
↑
1 344.03 m
↓
↑
1 344.03 m
↓
N 56.619976°
W 12.370606°		 ← 1 344.27 m →
1 806 440 m²		 N 56.619976°
W 12.348633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465667724609375 y=0.308258056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465667724609375 × 214)
    floor (0.465667724609375 × 16384)
    floor (7629.5)     		tx = 7629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308258056640625 × 214)
    floor (0.308258056640625 × 16384)
    floor (5050.5)     		ty = 5050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7629 / 5050 ti = "14/7629/5050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7629/5050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7629 ÷ 214
    7629 ÷ 16384     		x = 0.46563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5050 ÷ 214
    5050 ÷ 16384     		y = 0.3082275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46563720703125 × 2 - 1) × π
    -0.0687255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21590780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3082275390625 × 2 - 1) × π
    0.383544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20494190884973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21590780} λ = -0.21590780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20494190884973))-π/2
    2×atan(3.33656524752438)-π/2
    2×1.27960615044935-π/2
    2.55921230089869-1.57079632675     		φ = 0.98841597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21590780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.370606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98841597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.632063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7629 KachelY 5050 -0.21590780 0.98841597 -12.370606 56.632063
    Oben rechts KachelX + 1 7630 KachelY 5050 -0.21552430 0.98841597 -12.348633 56.632063
    Unten links KachelX 7629 KachelY + 1 5051 -0.21590780 0.98820501 -12.370606 56.619976
    Unten rechts KachelX + 1 7630 KachelY + 1 5051 -0.21552430 0.98820501 -12.348633 56.619976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98841597-0.98820501) × R
    0.000210959999999982 × 6371000     		dl = 1344.02615999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98841597-0.98820501) × R
    0.000210959999999982 × 6371000     		dr = 1344.02615999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21590780--0.21552430) × cos(0.98841597) × R
    0.000383500000000009 × 0.550013461885939 × 6371000     		do = 1343.83606613652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21590780--0.21552430) × cos(0.98820501) × R
    0.000383500000000009 × 0.550189634110927 × 6371000     		du = 1344.26650394613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98841597)-sin(0.98820501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550013461885939-0.550189634110927)×R²
    abs(-0.21552430--0.21590780)×0.000176172224988003×R²
    0.000383500000000009×0.000176172224988003×6371000²
    0.000383500000000009×0.000176172224988003×40589641000000     		ar = 1806440.09417674m²