Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76289 / 58517
↖ ↑ ↗
← N 18.924475°
E 29.533996°		 ← 288.92 m → N 18.924475°
E 29.536743°		 →
↑
288.92 m
↓
↑
288.92 m
↓
N 18.921876°
E 29.533996°		 ← 288.92 m →
83 476 m²		 N 18.921876°
E 29.536743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582042694091797 y=0.446453094482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582042694091797 × 217)
    floor (0.582042694091797 × 131072)
    floor (76289.5)     		tx = 76289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446453094482422 × 217)
    floor (0.446453094482422 × 131072)
    floor (58517.5)     		ty = 58517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76289 / 58517 ti = "17/76289/58517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76289/58517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76289 ÷ 217
    76289 ÷ 131072     		x = 0.582038879394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58517 ÷ 217
    58517 ÷ 131072     		y = 0.446449279785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582038879394531 × 2 - 1) × π
    0.164077758789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.51546548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446449279785156 × 2 - 1) × π
    0.107101440429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.336469098433174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51546548} λ = 0.51546548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.336469098433174))-π/2
    2×atan(1.39999560654364)-π/2
    2×0.950545356533193-π/2
    1.90109071306639-1.57079632675     		φ = 0.33029439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51546548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.533996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33029439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.924475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76289 KachelY 58517 0.51546548 0.33029439 29.533996 18.924475
    Oben rechts KachelX + 1 76290 KachelY 58517 0.51551342 0.33029439 29.536743 18.924475
    Unten links KachelX 76289 KachelY + 1 58518 0.51546548 0.33024904 29.533996 18.921876
    Unten rechts KachelX + 1 76290 KachelY + 1 58518 0.51551342 0.33024904 29.536743 18.921876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33029439-0.33024904) × R
    4.53499999999996e-05 × 6371000     		dl = 288.924849999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33029439-0.33024904) × R
    4.53499999999996e-05 × 6371000     		dr = 288.924849999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51546548-0.51551342) × cos(0.33029439) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945946907508033 × 6371000     		do = 288.916534226163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51546548-0.51551342) × cos(0.33024904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945961614516221 × 6371000     		du = 288.921026125022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33029439)-sin(0.33024904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945946907508033-0.945961614516221)×R²
    abs(0.51551342-0.51546548)×1.4707008187953e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4707008187953e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4707008187953e-05×40589641000000     		ar = 83475.81523867m²