Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76288 / 58881
↖ ↑ ↗
← N 17.976121°
E 29.531250°		 ← 290.52 m → N 17.976121°
E 29.533996°		 →
↑
290.52 m
↓
↑
290.52 m
↓
N 17.973508°
E 29.531250°		 ← 290.52 m →
84 401 m²		 N 17.973508°
E 29.533996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582035064697266 y=0.449230194091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582035064697266 × 217)
    floor (0.582035064697266 × 131072)
    floor (76288.5)     		tx = 76288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449230194091797 × 217)
    floor (0.449230194091797 × 131072)
    floor (58881.5)     		ty = 58881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76288 / 58881 ti = "17/76288/58881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76288/58881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76288 ÷ 217
    76288 ÷ 131072     		x = 0.58203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58881 ÷ 217
    58881 ÷ 131072     		y = 0.449226379394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58203125 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449226379394531 × 2 - 1) × π
    0.101547241210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.319020066971474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51541754} λ = 0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319020066971474))-π/2
    2×atan(1.37577893234563)-π/2
    2×0.942269409053825-π/2
    1.88453881810765-1.57079632675     		φ = 0.31374249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31374249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.976121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76288 KachelY 58881 0.51541754 0.31374249 29.531250 17.976121
    Oben rechts KachelX + 1 76289 KachelY 58881 0.51546548 0.31374249 29.533996 17.976121
    Unten links KachelX 76288 KachelY + 1 58882 0.51541754 0.31369689 29.531250 17.973508
    Unten rechts KachelX + 1 76289 KachelY + 1 58882 0.51546548 0.31369689 29.533996 17.973508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31374249-0.31369689) × R
    4.5599999999979e-05 × 6371000     		dl = 290.517599999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31374249-0.31369689) × R
    4.5599999999979e-05 × 6371000     		dr = 290.517599999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51541754-0.51546548) × cos(0.31374249) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.951185224360121 × 6371000     		do = 290.516451027738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51541754-0.51546548) × cos(0.31369689) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.95119929647012 × 6371000     		du = 290.520749012348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31374249)-sin(0.31369689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951185224360121-0.95119929647012)×R²
    abs(0.51546548-0.51541754)×1.40721099994856e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.40721099994856e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.40721099994856e-05×40589641000000     		ar = 84400.7664477291m²