Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76288 / 56832
↖ ↑ ↗
← N 23.241346°
E 29.531250°		 ← 280.64 m → N 23.241346°
E 29.533996°		 →
↑
280.64 m
↓
↑
280.64 m
↓
N 23.238822°
E 29.531250°		 ← 280.65 m →
78 760 m²		 N 23.238822°
E 29.533996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582035064697266 y=0.433597564697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582035064697266 × 217)
    floor (0.582035064697266 × 131072)
    floor (76288.5)     		tx = 76288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433597564697266 × 217)
    floor (0.433597564697266 × 131072)
    floor (56832.5)     		ty = 56832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76288 / 56832 ti = "17/76288/56832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76288/56832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76288 ÷ 217
    76288 ÷ 131072     		x = 0.58203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56832 ÷ 217
    56832 ÷ 131072     		y = 0.43359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58203125 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43359375 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.417242774292969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51541754} λ = 0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.417242774292969))-π/2
    2×atan(1.51777094397829)-π/2
    2×0.988217169433064-π/2
    1.97643433886613-1.57079632675     		φ = 0.40563801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40563801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.241346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76288 KachelY 56832 0.51541754 0.40563801 29.531250 23.241346
    Oben rechts KachelX + 1 76289 KachelY 56832 0.51546548 0.40563801 29.533996 23.241346
    Unten links KachelX 76288 KachelY + 1 56833 0.51541754 0.40559396 29.531250 23.238822
    Unten rechts KachelX + 1 76289 KachelY + 1 56833 0.51546548 0.40559396 29.533996 23.238822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40563801-0.40559396) × R
    4.40500000000177e-05 × 6371000     		dl = 280.642550000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40563801-0.40559396) × R
    4.40500000000177e-05 × 6371000     		dr = 280.642550000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51541754-0.51546548) × cos(0.40563801) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.91885082221011 × 6371000     		do = 280.640692323597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51541754-0.51546548) × cos(0.40559396) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.918868203672261 × 6371000     		du = 280.646001069537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40563801)-sin(0.40559396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91885082221011-0.918868203672261)×R²
    abs(0.51546548-0.51541754)×1.73814621509116e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.73814621509116e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.73814621509116e-05×40589641000000     		ar = 78760.4644702627m²