Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7628 / 5067
↖ ↑ ↗
← N 56.426054°
W 12.392578°		 ← 1 351.13 m → N 56.426054°
W 12.370606°		 →
↑
1 351.35 m
↓
↑
1 351.35 m
↓
N 56.413901°
W 12.392578°		 ← 1 351.56 m →
1 826 144 m²		 N 56.413901°
W 12.370606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465606689453125 y=0.309295654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465606689453125 × 214)
    floor (0.465606689453125 × 16384)
    floor (7628.5)     		tx = 7628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309295654296875 × 214)
    floor (0.309295654296875 × 16384)
    floor (5067.5)     		ty = 5067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7628 / 5067 ti = "14/7628/5067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7628/5067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7628 ÷ 214
    7628 ÷ 16384     		x = 0.465576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5067 ÷ 214
    5067 ÷ 16384     		y = 0.30926513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465576171875 × 2 - 1) × π
    -0.06884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21629129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30926513671875 × 2 - 1) × π
    0.3814697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1984224905014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21629129} λ = -0.21629129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1984224905014))-π/2
    2×atan(3.31488353569865)-π/2
    2×1.27780838064635-π/2
    2.55561676129271-1.57079632675     		φ = 0.98482043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21629129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.392578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98482043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.426054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7628 KachelY 5067 -0.21629129 0.98482043 -12.392578 56.426054
    Oben rechts KachelX + 1 7629 KachelY 5067 -0.21590780 0.98482043 -12.370606 56.426054
    Unten links KachelX 7628 KachelY + 1 5068 -0.21629129 0.98460832 -12.392578 56.413901
    Unten rechts KachelX + 1 7629 KachelY + 1 5068 -0.21590780 0.98460832 -12.370606 56.413901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98482043-0.98460832) × R
    0.000212109999999988 × 6371000     		dl = 1351.35280999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98482043-0.98460832) × R
    0.000212109999999988 × 6371000     		dr = 1351.35280999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21629129--0.21590780) × cos(0.98482043) × R
    0.000383489999999986 × 0.553012736203267 × 6371000     		do = 1351.12889615014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21629129--0.21590780) × cos(0.98460832) × R
    0.000383489999999986 × 0.553189448044213 × 6371000     		du = 1351.56064113351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98482043)-sin(0.98460832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553012736203267-0.553189448044213)×R²
    abs(-0.21590780--0.21629129)×0.000176711840945698×R²
    0.000383489999999986×0.000176711840945698×6371000²
    0.000383489999999986×0.000176711840945698×40589641000000     		ar = 1826143.55723004m²