Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7628 / 5060
↖ ↑ ↗
← N 56.511018°
W 12.392578°		 ← 1 348.11 m → N 56.511018°
W 12.370606°		 →
↑
1 348.36 m
↓
↑
1 348.36 m
↓
N 56.498891°
W 12.392578°		 ← 1 348.54 m →
1 818 025 m²		 N 56.498891°
W 12.370606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465606689453125 y=0.308868408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465606689453125 × 214)
    floor (0.465606689453125 × 16384)
    floor (7628.5)     		tx = 7628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308868408203125 × 214)
    floor (0.308868408203125 × 16384)
    floor (5060.5)     		ty = 5060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7628 / 5060 ti = "14/7628/5060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7628/5060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7628 ÷ 214
    7628 ÷ 16384     		x = 0.465576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5060 ÷ 214
    5060 ÷ 16384     		y = 0.308837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465576171875 × 2 - 1) × π
    -0.06884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21629129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308837890625 × 2 - 1) × π
    0.38232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20110695688013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21629129} λ = -0.21629129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20110695688013))-π/2
    2×atan(3.32379418391628)-π/2
    2×1.27854982294476-π/2
    2.55709964588952-1.57079632675     		φ = 0.98630332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21629129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.392578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98630332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.511018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7628 KachelY 5060 -0.21629129 0.98630332 -12.392578 56.511018
    Oben rechts KachelX + 1 7629 KachelY 5060 -0.21590780 0.98630332 -12.370606 56.511018
    Unten links KachelX 7628 KachelY + 1 5061 -0.21629129 0.98609168 -12.392578 56.498891
    Unten rechts KachelX + 1 7629 KachelY + 1 5061 -0.21590780 0.98609168 -12.370606 56.498891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98630332-0.98609168) × R
    0.000211639999999957 × 6371000     		dl = 1348.35843999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98630332-0.98609168) × R
    0.000211639999999957 × 6371000     		dr = 1348.35843999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21629129--0.21590780) × cos(0.98630332) × R
    0.000383489999999986 × 0.551776625016533 × 6371000     		do = 1348.10881101663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21629129--0.21590780) × cos(0.98609168) × R
    0.000383489999999986 × 0.551953118711961 × 6371000     		du = 1348.54002302364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98630332)-sin(0.98609168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551776625016533-0.551953118711961)×R²
    abs(-0.21590780--0.21629129)×0.00017649369542827×R²
    0.000383489999999986×0.00017649369542827×6371000²
    0.000383489999999986×0.00017649369542827×40589641000000     		ar = 1818024.61433181m²