Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7628 / 4265
↖ ↑ ↗
← N 64.988651°
W 12.392578°		 ← 1 032.99 m → N 64.988651°
W 12.370606°		 →
↑
1 033.19 m
↓
↑
1 033.19 m
↓
N 64.979359°
W 12.392578°		 ← 1 033.34 m →
1 067 451 m²		 N 64.979359°
W 12.370606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465606689453125 y=0.260345458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465606689453125 × 214)
    floor (0.465606689453125 × 16384)
    floor (7628.5)     		tx = 7628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260345458984375 × 214)
    floor (0.260345458984375 × 16384)
    floor (4265.5)     		ty = 4265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7628 / 4265 ti = "14/7628/4265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7628/4265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7628 ÷ 214
    7628 ÷ 16384     		x = 0.465576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4265 ÷ 214
    4265 ÷ 16384     		y = 0.26031494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465576171875 × 2 - 1) × π
    -0.06884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21629129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26031494140625 × 2 - 1) × π
    0.4793701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50598563846368
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21629129} λ = -0.21629129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50598563846368))-π/2
    2×atan(4.50859528592658)-π/2
    2×1.35253113004722-π/2
    2.70506226009445-1.57079632675     		φ = 1.13426593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21629129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.392578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13426593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.988651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7628 KachelY 4265 -0.21629129 1.13426593 -12.392578 64.988651
    Oben rechts KachelX + 1 7629 KachelY 4265 -0.21590780 1.13426593 -12.370606 64.988651
    Unten links KachelX 7628 KachelY + 1 4266 -0.21629129 1.13410376 -12.392578 64.979359
    Unten rechts KachelX + 1 7629 KachelY + 1 4266 -0.21590780 1.13410376 -12.370606 64.979359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13426593-1.13410376) × R
    0.000162170000000073 × 6371000     		dl = 1033.18507000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13426593-1.13410376) × R
    0.000162170000000073 × 6371000     		dr = 1033.18507000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21629129--0.21590780) × cos(1.13426593) × R
    0.000383489999999986 × 0.422797778335434 × 6371000     		do = 1032.98578520824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21629129--0.21590780) × cos(1.13410376) × R
    0.000383489999999986 × 0.422944735130256 × 6371000     		du = 1033.34483222284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13426593)-sin(1.13410376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422797778335434-0.422944735130256)×R²
    abs(-0.21590780--0.21629129)×0.000146956794822128×R²
    0.000383489999999986×0.000146956794822128×6371000²
    0.000383489999999986×0.000146956794822128×40589641000000     		ar = 1067450.97414689m²