Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7628 / 4057
↖ ↑ ↗
← N 66.852446°
W 12.392578°		 ← 960.43 m → N 66.852446°
W 12.370606°		 →
↑
960.62 m
↓
↑
960.62 m
↓
N 66.843807°
W 12.392578°		 ← 960.77 m →
922 769 m²		 N 66.843807°
W 12.370606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465606689453125 y=0.247650146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465606689453125 × 214)
    floor (0.465606689453125 × 16384)
    floor (7628.5)     		tx = 7628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247650146484375 × 214)
    floor (0.247650146484375 × 16384)
    floor (4057.5)     		ty = 4057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7628 / 4057 ti = "14/7628/4057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7628/4057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7628 ÷ 214
    7628 ÷ 16384     		x = 0.465576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4057 ÷ 214
    4057 ÷ 16384     		y = 0.24761962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465576171875 × 2 - 1) × π
    -0.06884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21629129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24761962890625 × 2 - 1) × π
    0.5047607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.58575263943146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21629129} λ = -0.21629129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58575263943146))-π/2
    2×atan(4.88296510792516)-π/2
    2×1.36879581442914-π/2
    2.73759162885829-1.57079632675     		φ = 1.16679530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21629129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.392578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16679530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.852446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7628 KachelY 4057 -0.21629129 1.16679530 -12.392578 66.852446
    Oben rechts KachelX + 1 7629 KachelY 4057 -0.21590780 1.16679530 -12.370606 66.852446
    Unten links KachelX 7628 KachelY + 1 4058 -0.21629129 1.16664452 -12.392578 66.843807
    Unten rechts KachelX + 1 7629 KachelY + 1 4058 -0.21590780 1.16664452 -12.370606 66.843807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16679530-1.16664452) × R
    0.000150780000000017 × 6371000     		dl = 960.619380000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16679530-1.16664452) × R
    0.000150780000000017 × 6371000     		dr = 960.619380000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21629129--0.21590780) × cos(1.16679530) × R
    0.000383489999999986 × 0.393100405250983 × 6371000     		do = 960.428724064161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21629129--0.21590780) × cos(1.16664452) × R
    0.000383489999999986 × 0.393239042321398 × 6371000     		du = 960.767444205042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16679530)-sin(1.16664452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393100405250983-0.393239042321398)×R²
    abs(-0.21590780--0.21629129)×0.000138637070415337×R²
    0.000383489999999986×0.000138637070415337×6371000²
    0.000383489999999986×0.000138637070415337×40589641000000     		ar = 922769.13776005m²