Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76278 / 59932
↖ ↑ ↗
← N 15.209988°
E 29.503784°		 ← 294.67 m → N 15.209988°
E 29.506531°		 →
↑
294.72 m
↓
↑
294.72 m
↓
N 15.207338°
E 29.503784°		 ← 294.67 m →
86 845 m²		 N 15.207338°
E 29.506531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581958770751953 y=0.457248687744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581958770751953 × 217)
    floor (0.581958770751953 × 131072)
    floor (76278.5)     		tx = 76278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457248687744141 × 217)
    floor (0.457248687744141 × 131072)
    floor (59932.5)     		ty = 59932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76278 / 59932 ti = "17/76278/59932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76278/59932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76278 ÷ 217
    76278 ÷ 131072     		x = 0.581954956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59932 ÷ 217
    59932 ÷ 131072     		y = 0.457244873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581954956054688 × 2 - 1) × π
    0.163909912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51493818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457244873046875 × 2 - 1) × π
    0.08551025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.268638385470795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51493818} λ = 0.51493818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.268638385470795))-π/2
    2×atan(1.30818199788662)-π/2
    2×0.918130346549202-π/2
    1.8362606930984-1.57079632675     		φ = 0.26546437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51493818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.503784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26546437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.209988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76278 KachelY 59932 0.51493818 0.26546437 29.503784 15.209988
    Oben rechts KachelX + 1 76279 KachelY 59932 0.51498611 0.26546437 29.506531 15.209988
    Unten links KachelX 76278 KachelY + 1 59933 0.51493818 0.26541811 29.503784 15.207338
    Unten rechts KachelX + 1 76279 KachelY + 1 59933 0.51498611 0.26541811 29.506531 15.207338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26546437-0.26541811) × R
    4.62600000000202e-05 × 6371000     		dl = 294.722460000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26546437-0.26541811) × R
    4.62600000000202e-05 × 6371000     		dr = 294.722460000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51493818-0.51498611) × cos(0.26546437) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.964970774022822 × 6371000     		do = 294.665434446461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51493818-0.51498611) × cos(0.26541811) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.964982909643624 × 6371000     		du = 294.669140204264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26546437)-sin(0.26541811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964970774022822-0.964982909643624)×R²
    abs(0.51498611-0.51493818)×1.21356208021561e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.21356208021561e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.21356208021561e-05×40589641000000     		ar = 86845.0678176579m²