Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76276 / 58620
↖ ↑ ↗
← N 18.656655°
E 29.498291°		 ← 289.38 m → N 18.656655°
E 29.501038°		 →
↑
289.37 m
↓
↑
289.37 m
↓
N 18.654052°
E 29.498291°		 ← 289.38 m →
83 738 m²		 N 18.654052°
E 29.501038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581943511962891 y=0.447238922119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581943511962891 × 217)
    floor (0.581943511962891 × 131072)
    floor (76276.5)     		tx = 76276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447238922119141 × 217)
    floor (0.447238922119141 × 131072)
    floor (58620.5)     		ty = 58620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76276 / 58620 ti = "17/76276/58620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76276/58620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76276 ÷ 217
    76276 ÷ 131072     		x = 0.581939697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58620 ÷ 217
    58620 ÷ 131072     		y = 0.447235107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581939697265625 × 2 - 1) × π
    0.16387939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51484230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447235107421875 × 2 - 1) × π
    0.10552978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.331531597772308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51484230} λ = 0.51484230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.331531597772308))-π/2
    2×atan(1.39310016444469)-π/2
    2×0.948208187491507-π/2
    1.89641637498301-1.57079632675     		φ = 0.32562005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51484230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.498291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32562005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.656655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76276 KachelY 58620 0.51484230 0.32562005 29.498291 18.656655
    Oben rechts KachelX + 1 76277 KachelY 58620 0.51489024 0.32562005 29.501038 18.656655
    Unten links KachelX 76276 KachelY + 1 58621 0.51484230 0.32557463 29.498291 18.654052
    Unten rechts KachelX + 1 76277 KachelY + 1 58621 0.51489024 0.32557463 29.501038 18.654052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32562005-0.32557463) × R
    4.54200000000182e-05 × 6371000     		dl = 289.370820000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32562005-0.32557463) × R
    4.54200000000182e-05 × 6371000     		dr = 289.370820000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51484230-0.51489024) × cos(0.32562005) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.947452556846989 × 6371000     		do = 289.376398290364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51484230-0.51489024) × cos(0.32557463) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.947467085560338 × 6371000     		du = 289.38083573339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32562005)-sin(0.32557463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947452556846989-0.947467085560338)×R²
    abs(0.51489024-0.51484230)×1.4528713348505e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.4528713348505e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.4528713348505e-05×40589641000000     		ar = 83737.7277096658m²