Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76275 / 59922
↖ ↑ ↗
← N 15.236490°
E 29.495545°		 ← 294.63 m → N 15.236490°
E 29.498291°		 →
↑
294.66 m
↓
↑
294.66 m
↓
N 15.233840°
E 29.495545°		 ← 294.63 m →
86 815 m²		 N 15.233840°
E 29.498291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581935882568359 y=0.457172393798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581935882568359 × 217)
    floor (0.581935882568359 × 131072)
    floor (76275.5)     		tx = 76275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457172393798828 × 217)
    floor (0.457172393798828 × 131072)
    floor (59922.5)     		ty = 59922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76275 / 59922 ti = "17/76275/59922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76275/59922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76275 ÷ 217
    76275 ÷ 131072     		x = 0.581932067871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59922 ÷ 217
    59922 ÷ 131072     		y = 0.457168579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581932067871094 × 2 - 1) × π
    0.163864135742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.51479437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457168579101562 × 2 - 1) × π
    0.085662841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.269117754466995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51479437} λ = 0.51479437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.269117754466995))-π/2
    2×atan(1.30880925010842)-π/2
    2×0.918361620533332-π/2
    1.83672324106666-1.57079632675     		φ = 0.26592691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51479437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.495545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26592691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.236490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76275 KachelY 59922 0.51479437 0.26592691 29.495545 15.236490
    Oben rechts KachelX + 1 76276 KachelY 59922 0.51484230 0.26592691 29.498291 15.236490
    Unten links KachelX 76275 KachelY + 1 59923 0.51479437 0.26588066 29.495545 15.233840
    Unten rechts KachelX + 1 76276 KachelY + 1 59923 0.51484230 0.26588066 29.498291 15.233840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26592691-0.26588066) × R
    4.62500000000254e-05 × 6371000     		dl = 294.658750000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26592691-0.26588066) × R
    4.62500000000254e-05 × 6371000     		dr = 294.658750000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51479437-0.51484230) × cos(0.26592691) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.964849320010909 × 6371000     		do = 294.628347002831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51479437-0.51484230) × cos(0.26588066) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.964861473650528 × 6371000     		du = 294.632058262897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26592691)-sin(0.26588066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964849320010909-0.964861473650528)×R²
    abs(0.51484230-0.51479437)×1.21536396189281e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.21536396189281e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.21536396189281e-05×40589641000000     		ar = 86815.3672355817m²