Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76273 / 59777
↖ ↑ ↗
← N 15.620392°
E 29.490051°		 ← 294.15 m → N 15.620392°
E 29.492798°		 →
↑
294.15 m
↓
↑
294.15 m
↓
N 15.617747°
E 29.490051°		 ← 294.15 m →
86 523 m²		 N 15.617747°
E 29.492798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581920623779297 y=0.456066131591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581920623779297 × 217)
    floor (0.581920623779297 × 131072)
    floor (76273.5)     		tx = 76273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456066131591797 × 217)
    floor (0.456066131591797 × 131072)
    floor (59777.5)     		ty = 59777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76273 / 59777 ti = "17/76273/59777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76273/59777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76273 ÷ 217
    76273 ÷ 131072     		x = 0.581916809082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59777 ÷ 217
    59777 ÷ 131072     		y = 0.456062316894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581916809082031 × 2 - 1) × π
    0.163833618164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.51469849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456062316894531 × 2 - 1) × π
    0.0878753662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.276068604911903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51469849} λ = 0.51469849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.276068604911903))-π/2
    2×atan(1.3179382779653)-π/2
    2×0.921711796259708-π/2
    1.84342359251942-1.57079632675     		φ = 0.27262727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51469849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.490051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27262727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.620392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76273 KachelY 59777 0.51469849 0.27262727 29.490051 15.620392
    Oben rechts KachelX + 1 76274 KachelY 59777 0.51474643 0.27262727 29.492798 15.620392
    Unten links KachelX 76273 KachelY + 1 59778 0.51469849 0.27258110 29.490051 15.617747
    Unten rechts KachelX + 1 76274 KachelY + 1 59778 0.51474643 0.27258110 29.492798 15.617747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27262727-0.27258110) × R
    4.61699999999565e-05 × 6371000     		dl = 294.149069999723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27262727-0.27258110) × R
    4.61699999999565e-05 × 6371000     		dr = 294.149069999723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51469849-0.51474643) × cos(0.27262727) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.963066795435054 × 6371000     		do = 294.145388664987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51469849-0.51474643) × cos(0.27258110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.963079226262802 × 6371000     		du = 294.149185359751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27262727)-sin(0.27258110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963066795435054-0.963079226262802)×R²
    abs(0.51474643-0.51469849)×1.24308277482665e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.24308277482665e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.24308277482665e-05×40589641000000     		ar = 86523.1509330258m²