Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76271 / 58545
↖ ↑ ↗
← N 18.851711°
E 29.484558°		 ← 288.98 m → N 18.851711°
E 29.487304°		 →
↑
289.05 m
↓
↑
289.05 m
↓
N 18.849112°
E 29.484558°		 ← 288.99 m →
83 531 m²		 N 18.849112°
E 29.487304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581905364990234 y=0.446666717529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581905364990234 × 217)
    floor (0.581905364990234 × 131072)
    floor (76271.5)     		tx = 76271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446666717529297 × 217)
    floor (0.446666717529297 × 131072)
    floor (58545.5)     		ty = 58545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76271 / 58545 ti = "17/76271/58545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76271/58545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76271 ÷ 217
    76271 ÷ 131072     		x = 0.581901550292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58545 ÷ 217
    58545 ÷ 131072     		y = 0.446662902832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581901550292969 × 2 - 1) × π
    0.163803100585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.51460262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446662902832031 × 2 - 1) × π
    0.106674194335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.335126865243813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51460262} λ = 0.51460262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.335126865243813))-π/2
    2×atan(1.39811774652053)-π/2
    2×0.949910377837811-π/2
    1.89982075567562-1.57079632675     		φ = 0.32902443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51460262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.484558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32902443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.851711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76271 KachelY 58545 0.51460262 0.32902443 29.484558 18.851711
    Oben rechts KachelX + 1 76272 KachelY 58545 0.51465055 0.32902443 29.487304 18.851711
    Unten links KachelX 76271 KachelY + 1 58546 0.51460262 0.32897906 29.484558 18.849112
    Unten rechts KachelX + 1 76272 KachelY + 1 58546 0.51465055 0.32897906 29.487304 18.849112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32902443-0.32897906) × R
    4.5369999999989e-05 × 6371000     		dl = 289.05226999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32902443-0.32897906) × R
    4.5369999999989e-05 × 6371000     		dr = 289.05226999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51460262-0.51465055) × cos(0.32902443) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.946358019943821 × 6371000     		do = 288.981806077002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51460262-0.51465055) × cos(0.32897906) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.946372678921657 × 6371000     		du = 288.986282372232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32902443)-sin(0.32897906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946358019943821-0.946372678921657)×R²
    abs(0.51465055-0.51460262)×1.46589778364792e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46589778364792e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46589778364792e-05×40589641000000     		ar = 83531.493991271m²