Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7627 / 7242
↖ ↑ ↗
← S 79.765560°
E155.170898°		 ← 868.21 m → S 79.765560°
E155.214844°		 →
↑
867.92 m
↓
↑
867.92 m
↓
S 79.773365°
E155.170898°		 ← 867.56 m →
753 257 m²		 S 79.773365°
E155.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93109130859375 y=0.88409423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93109130859375 × 213)
    floor (0.93109130859375 × 8192)
    floor (7627.5)     		tx = 7627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.88409423828125 × 213)
    floor (0.88409423828125 × 8192)
    floor (7242.5)     		ty = 7242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7627 / 7242 ti = "13/7627/7242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7627/7242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7627 ÷ 213
    7627 ÷ 8192     		x = 0.9310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7242 ÷ 213
    7242 ÷ 8192     		y = 0.884033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9310302734375 × 2 - 1) × π
    0.862060546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70824308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884033203125 × 2 - 1) × π
    -0.76806640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.41295177927515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70824308} λ = 2.70824308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41295177927515))-π/2
    2×atan(0.0895505705428017)-π/2
    2×0.0893123380021784-π/2
    0.178624676004357-1.57079632675     		φ = -1.39217165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70824308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.170898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39217165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.765560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7627 KachelY 7242 2.70824308 -1.39217165 155.170898 -79.765560
    Oben rechts KachelX + 1 7628 KachelY 7242 2.70901007 -1.39217165 155.214844 -79.765560
    Unten links KachelX 7627 KachelY + 1 7243 2.70824308 -1.39230788 155.170898 -79.773365
    Unten rechts KachelX + 1 7628 KachelY + 1 7243 2.70901007 -1.39230788 155.214844 -79.773365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39217165--1.39230788) × R
    0.000136229999999848 × 6371000     		dl = 867.921329999034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39217165--1.39230788) × R
    0.000136229999999848 × 6371000     		dr = 867.921329999034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70824308-2.70901007) × cos(-1.39217165) × R
    0.000766990000000245 × 0.177676301473069 × 6371000     		do = 868.214054940444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70824308-2.70901007) × cos(-1.39230788) × R
    0.000766990000000245 × 0.17754223738224 × 6371000     		du = 867.558951660182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39217165)-sin(-1.39230788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177676301473069-0.17754223738224)×R²
    abs(2.70901007-2.70824308)×0.000134064090828168×R²
    0.000766990000000245×0.000134064090828168×6371000²
    0.000766990000000245×0.000134064090828168×40589641000000     		ar = 753257.209395936m²