Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7627 / 7239
↖ ↑ ↗
← S 79.742109°
E155.170898°		 ← 870.18 m → S 79.742109°
E155.214844°		 →
↑
869.83 m
↓
↑
869.83 m
↓
S 79.749932°
E155.170898°		 ← 869.53 m →
756 627 m²		 S 79.749932°
E155.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93109130859375 y=0.88372802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93109130859375 × 213)
    floor (0.93109130859375 × 8192)
    floor (7627.5)     		tx = 7627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.88372802734375 × 213)
    floor (0.88372802734375 × 8192)
    floor (7239.5)     		ty = 7239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7627 / 7239 ti = "13/7627/7239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7627/7239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7627 ÷ 213
    7627 ÷ 8192     		x = 0.9310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7239 ÷ 213
    7239 ÷ 8192     		y = 0.8836669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9310302734375 × 2 - 1) × π
    0.862060546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70824308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8836669921875 × 2 - 1) × π
    -0.767333984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.41065080809338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70824308} λ = 2.70824308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41065080809338))-π/2
    2×atan(0.0897568610681915)-π/2
    2×0.0895169836285507-π/2
    0.179033967257101-1.57079632675     		φ = -1.39176236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70824308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.170898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39176236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.742109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7627 KachelY 7239 2.70824308 -1.39176236 155.170898 -79.742109
    Oben rechts KachelX + 1 7628 KachelY 7239 2.70901007 -1.39176236 155.214844 -79.742109
    Unten links KachelX 7627 KachelY + 1 7240 2.70824308 -1.39189889 155.170898 -79.749932
    Unten rechts KachelX + 1 7628 KachelY + 1 7240 2.70901007 -1.39189889 155.214844 -79.749932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39176236--1.39189889) × R
    0.000136530000000024 × 6371000     		dl = 869.83263000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39176236--1.39189889) × R
    0.000136530000000024 × 6371000     		dr = 869.83263000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70824308-2.70901007) × cos(-1.39176236) × R
    0.000766990000000245 × 0.178079064360789 × 6371000     		do = 870.182153088751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70824308-2.70901007) × cos(-1.39189889) × R
    0.000766990000000245 × 0.177944714972114 × 6371000     		du = 869.525655702475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39176236)-sin(-1.39189889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178079064360789-0.177944714972114)×R²
    abs(2.70901007-2.70824308)×0.000134349388674876×R²
    0.000766990000000245×0.000134349388674876×6371000²
    0.000766990000000245×0.000134349388674876×40589641000000     		ar = 756627.31054987m²