Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7627 / 7235
↖ ↑ ↗
← S 79.710759°
E155.170898°		 ← 872.81 m → S 79.710759°
E155.214844°		 →
↑
872.51 m
↓
↑
872.51 m
↓
S 79.718605°
E155.170898°		 ← 872.15 m →
761 249 m²		 S 79.718605°
E155.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93109130859375 y=0.88323974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93109130859375 × 213)
    floor (0.93109130859375 × 8192)
    floor (7627.5)     		tx = 7627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.88323974609375 × 213)
    floor (0.88323974609375 × 8192)
    floor (7235.5)     		ty = 7235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7627 / 7235 ti = "13/7627/7235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7627/7235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7627 ÷ 213
    7627 ÷ 8192     		x = 0.9310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7235 ÷ 213
    7235 ÷ 8192     		y = 0.8831787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9310302734375 × 2 - 1) × π
    0.862060546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70824308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8831787109375 × 2 - 1) × π
    -0.766357421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.4075828465177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70824308} λ = 2.70824308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4075828465177))-π/2
    2×atan(0.0900326545146281)-π/2
    2×0.0897905662338147-π/2
    0.179581132467629-1.57079632675     		φ = -1.39121519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70824308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.170898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39121519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.710759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7627 KachelY 7235 2.70824308 -1.39121519 155.170898 -79.710759
    Oben rechts KachelX + 1 7628 KachelY 7235 2.70901007 -1.39121519 155.214844 -79.710759
    Unten links KachelX 7627 KachelY + 1 7236 2.70824308 -1.39135214 155.170898 -79.718605
    Unten rechts KachelX + 1 7628 KachelY + 1 7236 2.70901007 -1.39135214 155.214844 -79.718605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39121519--1.39135214) × R
    0.000136949999999914 × 6371000     		dl = 872.508449999449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39121519--1.39135214) × R
    0.000136949999999914 × 6371000     		dr = 872.508449999449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70824308-2.70901007) × cos(-1.39121519) × R
    0.000766990000000245 × 0.178617461810347 × 6371000     		do = 872.81302861337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70824308-2.70901007) × cos(-1.39135214) × R
    0.000766990000000245 × 0.178482712484118 × 6371000     		du = 872.154576934922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39121519)-sin(-1.39135214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178617461810347-0.178482712484118)×R²
    abs(2.70901007-2.70824308)×0.000134749326228395×R²
    0.000766990000000245×0.000134749326228395×6371000²
    0.000766990000000245×0.000134749326228395×40589641000000     		ar = 761249.491598054m²