Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7627 / 7228
↖ ↑ ↗
← S 79.655668°
E155.170898°		 ← 877.44 m → S 79.655668°
E155.214844°		 →
↑
877.10 m
↓
↑
877.10 m
↓
S 79.663556°
E155.170898°		 ← 876.77 m →
769 305 m²		 S 79.663556°
E155.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93109130859375 y=0.88238525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93109130859375 × 213)
    floor (0.93109130859375 × 8192)
    floor (7627.5)     		tx = 7627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.88238525390625 × 213)
    floor (0.88238525390625 × 8192)
    floor (7228.5)     		ty = 7228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7627 / 7228 ti = "13/7627/7228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7627/7228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7627 ÷ 213
    7627 ÷ 8192     		x = 0.9310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7228 ÷ 213
    7228 ÷ 8192     		y = 0.88232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9310302734375 × 2 - 1) × π
    0.862060546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70824308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88232421875 × 2 - 1) × π
    -0.7646484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.40221391376025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70824308} λ = 2.70824308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40221391376025))-π/2
    2×atan(0.0905173337234751)-π/2
    2×0.0902713274343041-π/2
    0.180542654868608-1.57079632675     		φ = -1.39025367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70824308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.170898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39025367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.655668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7627 KachelY 7228 2.70824308 -1.39025367 155.170898 -79.655668
    Oben rechts KachelX + 1 7628 KachelY 7228 2.70901007 -1.39025367 155.214844 -79.655668
    Unten links KachelX 7627 KachelY + 1 7229 2.70824308 -1.39039134 155.170898 -79.663556
    Unten rechts KachelX + 1 7628 KachelY + 1 7229 2.70901007 -1.39039134 155.214844 -79.663556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39025367--1.39039134) × R
    0.000137669999999979 × 6371000     		dl = 877.095569999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39025367--1.39039134) × R
    0.000137669999999979 × 6371000     		dr = 877.095569999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70824308-2.70901007) × cos(-1.39025367) × R
    0.000766990000000245 × 0.179563436504638 × 6371000     		do = 877.435527609533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70824308-2.70901007) × cos(-1.39039134) × R
    0.000766990000000245 × 0.179428002437049 × 6371000     		du = 876.773729947022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39025367)-sin(-1.39039134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179563436504638-0.179428002437049)×R²
    abs(2.70901007-2.70824308)×0.000135434067588897×R²
    0.000766990000000245×0.000135434067588897×6371000²
    0.000766990000000245×0.000135434067588897×40589641000000     		ar = 769304.585545347m²