Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7627 / 4118
↖ ↑ ↗
← N 66.319861°
W 12.414551°		 ← 981.29 m → N 66.319861°
W 12.392578°		 →
↑
981.45 m
↓
↑
981.45 m
↓
N 66.311035°
W 12.414551°		 ← 981.64 m →
963 263 m²		 N 66.311035°
W 12.392578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465545654296875 y=0.251373291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465545654296875 × 214)
    floor (0.465545654296875 × 16384)
    floor (7627.5)     		tx = 7627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251373291015625 × 214)
    floor (0.251373291015625 × 16384)
    floor (4118.5)     		ty = 4118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7627 / 4118 ti = "14/7627/4118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7627/4118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7627 ÷ 214
    7627 ÷ 16384     		x = 0.46551513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4118 ÷ 214
    4118 ÷ 16384     		y = 0.2513427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46551513671875 × 2 - 1) × π
    -0.0689697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21667479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2513427734375 × 2 - 1) × π
    0.497314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.56235943241687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21667479} λ = -0.21667479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56235943241687))-π/2
    2×atan(4.77006261866529)-π/2
    2×1.36414813424399-π/2
    2.72829626848799-1.57079632675     		φ = 1.15749994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21667479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.414551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15749994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.319861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7627 KachelY 4118 -0.21667479 1.15749994 -12.414551 66.319861
    Oben rechts KachelX + 1 7628 KachelY 4118 -0.21629129 1.15749994 -12.392578 66.319861
    Unten links KachelX 7627 KachelY + 1 4119 -0.21667479 1.15734589 -12.414551 66.311035
    Unten rechts KachelX + 1 7628 KachelY + 1 4119 -0.21629129 1.15734589 -12.392578 66.311035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15749994-1.15734589) × R
    0.000154049999999906 × 6371000     		dl = 981.452549999399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15749994-1.15734589) × R
    0.000154049999999906 × 6371000     		dr = 981.452549999399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21667479--0.21629129) × cos(1.15749994) × R
    0.000383500000000009 × 0.401630341803429 × 6371000     		do = 981.294779075992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21667479--0.21629129) × cos(1.15734589) × R
    0.000383500000000009 × 0.401771416315609 × 6371000     		du = 981.639463398498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15749994)-sin(1.15734589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401630341803429-0.401771416315609)×R²
    abs(-0.21629129--0.21667479)×0.000141074512179706×R²
    0.000383500000000009×0.000141074512179706×6371000²
    0.000383500000000009×0.000141074512179706×40589641000000     		ar = 963263.410783995m²