Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76268 / 58676
↖ ↑ ↗
← N 18.510865°
E 29.476319°		 ← 289.56 m → N 18.510865°
E 29.479065°		 →
↑
289.56 m
↓
↑
289.56 m
↓
N 18.508261°
E 29.476319°		 ← 289.57 m →
83 847 m²		 N 18.508261°
E 29.479065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581882476806641 y=0.447666168212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581882476806641 × 217)
    floor (0.581882476806641 × 131072)
    floor (76268.5)     		tx = 76268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447666168212891 × 217)
    floor (0.447666168212891 × 131072)
    floor (58676.5)     		ty = 58676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76268 / 58676 ti = "17/76268/58676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76268/58676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76268 ÷ 217
    76268 ÷ 131072     		x = 0.581878662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58676 ÷ 217
    58676 ÷ 131072     		y = 0.447662353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581878662109375 × 2 - 1) × π
    0.16375732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51445881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447662353515625 × 2 - 1) × π
    0.10467529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.328847131393585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51445881} λ = 0.51445881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.328847131393585))-π/2
    2×atan(1.38936544899289)-π/2
    2×0.946935940402072-π/2
    1.89387188080414-1.57079632675     		φ = 0.32307555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51445881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.476319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32307555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.510865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76268 KachelY 58676 0.51445881 0.32307555 29.476319 18.510865
    Oben rechts KachelX + 1 76269 KachelY 58676 0.51450674 0.32307555 29.479065 18.510865
    Unten links KachelX 76268 KachelY + 1 58677 0.51445881 0.32303010 29.476319 18.508261
    Unten rechts KachelX + 1 76269 KachelY + 1 58677 0.51450674 0.32303010 29.479065 18.508261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32307555-0.32303010) × R
    4.54500000000024e-05 × 6371000     		dl = 289.561950000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32307555-0.32303010) × R
    4.54500000000024e-05 × 6371000     		dr = 289.561950000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51445881-0.51450674) × cos(0.32307555) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.948263465013073 × 6371000     		do = 289.563656650732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51445881-0.51450674) × cos(0.32303010) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.94827789370369 × 6371000     		du = 289.56806262499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32307555)-sin(0.32303010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948263465013073-0.94827789370369)×R²
    abs(0.51450674-0.51445881)×1.44286906168523e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.44286906168523e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.44286906168523e-05×40589641000000     		ar = 83847.2549846768m²