Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76266 / 59818
↖ ↑ ↗
← N 15.511912°
E 29.470825°		 ← 294.30 m → N 15.511912°
E 29.473572°		 →
↑
294.28 m
↓
↑
294.28 m
↓
N 15.509266°
E 29.470825°		 ← 294.30 m →
86 606 m²		 N 15.509266°
E 29.473572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581867218017578 y=0.456378936767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581867218017578 × 217)
    floor (0.581867218017578 × 131072)
    floor (76266.5)     		tx = 76266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456378936767578 × 217)
    floor (0.456378936767578 × 131072)
    floor (59818.5)     		ty = 59818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76266 / 59818 ti = "17/76266/59818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76266/59818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76266 ÷ 217
    76266 ÷ 131072     		x = 0.581863403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59818 ÷ 217
    59818 ÷ 131072     		y = 0.456375122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581863403320312 × 2 - 1) × π
    0.163726806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51436293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456375122070312 × 2 - 1) × π
    0.087249755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.274103192027481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51436293} λ = 0.51436293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.274103192027481))-π/2
    2×atan(1.31535052892358)-π/2
    2×0.920765134409384-π/2
    1.84153026881877-1.57079632675     		φ = 0.27073394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51436293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.470825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27073394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.511912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76266 KachelY 59818 0.51436293 0.27073394 29.470825 15.511912
    Oben rechts KachelX + 1 76267 KachelY 59818 0.51441087 0.27073394 29.473572 15.511912
    Unten links KachelX 76266 KachelY + 1 59819 0.51436293 0.27068775 29.470825 15.509266
    Unten rechts KachelX + 1 76267 KachelY + 1 59819 0.51441087 0.27068775 29.473572 15.509266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27073394-0.27068775) × R
    4.61900000000015e-05 × 6371000     		dl = 294.27649000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27073394-0.27068775) × R
    4.61900000000015e-05 × 6371000     		dr = 294.27649000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51436293-0.51441087) × cos(0.27073394) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.9635748719366 × 6371000     		do = 294.300568306448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51436293-0.51441087) × cos(0.27068775) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.963587223902931 × 6371000     		du = 294.304340914905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27073394)-sin(0.27068775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9635748719366-0.963587223902931)×R²
    abs(0.51441087-0.51436293)×1.23519663307592e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.23519663307592e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.23519663307592e-05×40589641000000     		ar = 86606.2933566986m²