Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76262 / 59359
↖ ↑ ↗
← N 16.723015°
E 29.459839°		 ← 292.45 m → N 16.723015°
E 29.462585°		 →
↑
292.49 m
↓
↑
292.49 m
↓
N 16.720385°
E 29.459839°		 ← 292.45 m →
85 539 m²		 N 16.720385°
E 29.462585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581836700439453 y=0.452877044677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581836700439453 × 217)
    floor (0.581836700439453 × 131072)
    floor (76262.5)     		tx = 76262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452877044677734 × 217)
    floor (0.452877044677734 × 131072)
    floor (59359.5)     		ty = 59359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76262 / 59359 ti = "17/76262/59359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76262/59359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76262 ÷ 217
    76262 ÷ 131072     		x = 0.581832885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59359 ÷ 217
    59359 ÷ 131072     		y = 0.452873229980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581832885742188 × 2 - 1) × π
    0.163665771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51417119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452873229980469 × 2 - 1) × π
    0.0942535400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.296106228953087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51417119} λ = 0.51417119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.296106228953087))-π/2
    2×atan(1.34461298607544)-π/2
    2×0.931334003980181-π/2
    1.86266800796036-1.57079632675     		φ = 0.29187168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51417119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.459839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29187168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.723015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76262 KachelY 59359 0.51417119 0.29187168 29.459839 16.723015
    Oben rechts KachelX + 1 76263 KachelY 59359 0.51421912 0.29187168 29.462585 16.723015
    Unten links KachelX 76262 KachelY + 1 59360 0.51417119 0.29182577 29.459839 16.720385
    Unten rechts KachelX + 1 76263 KachelY + 1 59360 0.51421912 0.29182577 29.462585 16.720385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29187168-0.29182577) × R
    4.59100000000379e-05 × 6371000     		dl = 292.492610000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29187168-0.29182577) × R
    4.59100000000379e-05 × 6371000     		dr = 292.492610000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51417119-0.51421912) × cos(0.29187168) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.957706986311718 × 6371000     		do = 292.447349485507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51417119-0.51421912) × cos(0.29182577) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.957720195686806 × 6371000     		du = 292.451383127099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29187168)-sin(0.29182577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957706986311718-0.957720195686806)×R²
    abs(0.51421912-0.51417119)×1.32093750878637e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.32093750878637e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.32093750878637e-05×40589641000000     		ar = 85539.2784589179m²