Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76260 / 59940
↖ ↑ ↗
← N 15.188784°
E 29.454346°		 ← 294.76 m → N 15.188784°
E 29.457092°		 →
↑
294.79 m
↓
↑
294.79 m
↓
N 15.186133°
E 29.454346°		 ← 294.76 m →
86 891 m²		 N 15.186133°
E 29.457092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581821441650391 y=0.457309722900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581821441650391 × 217)
    floor (0.581821441650391 × 131072)
    floor (76260.5)     		tx = 76260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457309722900391 × 217)
    floor (0.457309722900391 × 131072)
    floor (59940.5)     		ty = 59940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76260 / 59940 ti = "17/76260/59940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76260/59940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76260 ÷ 217
    76260 ÷ 131072     		x = 0.581817626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59940 ÷ 217
    59940 ÷ 131072     		y = 0.457305908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581817626953125 × 2 - 1) × π
    0.16363525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51407531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457305908203125 × 2 - 1) × π
    0.08538818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.268254890273834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51407531} λ = 0.51407531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.268254890273834))-π/2
    2×atan(1.30768041255761)-π/2
    2×0.91794530641617-π/2
    1.83589061283234-1.57079632675     		φ = 0.26509429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51407531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.454346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26509429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.188784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76260 KachelY 59940 0.51407531 0.26509429 29.454346 15.188784
    Oben rechts KachelX + 1 76261 KachelY 59940 0.51412325 0.26509429 29.457092 15.188784
    Unten links KachelX 76260 KachelY + 1 59941 0.51407531 0.26504802 29.454346 15.186133
    Unten rechts KachelX + 1 76261 KachelY + 1 59941 0.51412325 0.26504802 29.457092 15.186133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26509429-0.26504802) × R
    4.62700000000149e-05 × 6371000     		dl = 294.786170000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26509429-0.26504802) × R
    4.62700000000149e-05 × 6371000     		dr = 294.786170000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51407531-0.51412325) × cos(0.26509429) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.965067801166345 × 6371000     		do = 294.756547321893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51407531-0.51412325) × cos(0.26504802) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.965079922885565 × 6371000     		du = 294.760249606956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26509429)-sin(0.26504802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965067801166345-0.965079922885565)×R²
    abs(0.51412325-0.51407531)×1.21217192199374e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.21217192199374e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.21217192199374e-05×40589641000000     		ar = 86890.6993741323m²