Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76259 / 58468
↖ ↑ ↗
← N 19.051734°
E 29.451599°		 ← 288.70 m → N 19.051734°
E 29.454346°		 →
↑
288.67 m
↓
↑
288.67 m
↓
N 19.049138°
E 29.451599°		 ← 288.70 m →
83 338 m²		 N 19.049138°
E 29.454346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581813812255859 y=0.446079254150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581813812255859 × 217)
    floor (0.581813812255859 × 131072)
    floor (76259.5)     		tx = 76259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446079254150391 × 217)
    floor (0.446079254150391 × 131072)
    floor (58468.5)     		ty = 58468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76259 / 58468 ti = "17/76259/58468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76259/58468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76259 ÷ 217
    76259 ÷ 131072     		x = 0.581809997558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58468 ÷ 217
    58468 ÷ 131072     		y = 0.446075439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581809997558594 × 2 - 1) × π
    0.163619995117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.51402737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446075439453125 × 2 - 1) × π
    0.10784912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.338818006514557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51402737} λ = 0.51402737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.338818006514557))-π/2
    2×atan(1.40328793270977)-π/2
    2×0.951655903726861-π/2
    1.90331180745372-1.57079632675     		φ = 0.33251548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51402737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.451599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33251548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.051734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76259 KachelY 58468 0.51402737 0.33251548 29.451599 19.051734
    Oben rechts KachelX + 1 76260 KachelY 58468 0.51407531 0.33251548 29.454346 19.051734
    Unten links KachelX 76259 KachelY + 1 58469 0.51402737 0.33247017 29.451599 19.049138
    Unten rechts KachelX + 1 76260 KachelY + 1 58469 0.51407531 0.33247017 29.454346 19.049138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33251548-0.33247017) × R
    4.53099999999651e-05 × 6371000     		dl = 288.670009999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33251548-0.33247017) × R
    4.53099999999651e-05 × 6371000     		dr = 288.670009999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51402737-0.51407531) × cos(0.33251548) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945224227525021 × 6371000     		do = 288.695809157568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51402737-0.51407531) × cos(0.33247017) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945239016724295 × 6371000     		du = 288.700326159701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33251548)-sin(0.33247017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945224227525021-0.945239016724295)×R²
    abs(0.51407531-0.51402737)×1.47891992740012e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47891992740012e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47891992740012e-05×40589641000000     		ar = 83338.4740922616m²