Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76258 / 59358
↖ ↑ ↗
← N 16.725646°
E 29.448853°		 ← 292.44 m → N 16.725646°
E 29.451599°		 →
↑
292.49 m
↓
↑
292.49 m
↓
N 16.723015°
E 29.448853°		 ← 292.45 m →
85 538 m²		 N 16.723015°
E 29.451599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581806182861328 y=0.452869415283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581806182861328 × 217)
    floor (0.581806182861328 × 131072)
    floor (76258.5)     		tx = 76258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452869415283203 × 217)
    floor (0.452869415283203 × 131072)
    floor (59358.5)     		ty = 59358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76258 / 59358 ti = "17/76258/59358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76258/59358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76258 ÷ 217
    76258 ÷ 131072     		x = 0.581802368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59358 ÷ 217
    59358 ÷ 131072     		y = 0.452865600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581802368164062 × 2 - 1) × π
    0.163604736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51397944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452865600585938 × 2 - 1) × π
    0.094268798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.296154165852707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51397944} λ = 0.51397944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.296154165852707))-π/2
    2×atan(1.34467744419813)-π/2
    2×0.931356958573685-π/2
    1.86271391714737-1.57079632675     		φ = 0.29191759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51397944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.448853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29191759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.725646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76258 KachelY 59358 0.51397944 0.29191759 29.448853 16.725646
    Oben rechts KachelX + 1 76259 KachelY 59358 0.51402737 0.29191759 29.451599 16.725646
    Unten links KachelX 76258 KachelY + 1 59359 0.51397944 0.29187168 29.448853 16.723015
    Unten rechts KachelX + 1 76259 KachelY + 1 59359 0.51402737 0.29187168 29.451599 16.723015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29191759-0.29187168) × R
    4.59099999999824e-05 × 6371000     		dl = 292.492609999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29191759-0.29187168) × R
    4.59099999999824e-05 × 6371000     		dr = 292.492609999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51397944-0.51402737) × cos(0.29191759) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.957693774918044 × 6371000     		do = 292.443315227516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51397944-0.51402737) × cos(0.29187168) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.957706986311718 × 6371000     		du = 292.447349485507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29191759)-sin(0.29187168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957693774918044-0.957706986311718)×R²
    abs(0.51402737-0.51397944)×1.32113936737177e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.32113936737177e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.32113936737177e-05×40589641000000     		ar = 85538.0985581964m²