Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76257 / 59875
↖ ↑ ↗
← N 15.361005°
E 29.446106°		 ← 294.51 m → N 15.361005°
E 29.448853°		 →
↑
294.53 m
↓
↑
294.53 m
↓
N 15.358356°
E 29.446106°		 ← 294.52 m →
86 744 m²		 N 15.358356°
E 29.448853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581798553466797 y=0.456813812255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581798553466797 × 217)
    floor (0.581798553466797 × 131072)
    floor (76257.5)     		tx = 76257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456813812255859 × 217)
    floor (0.456813812255859 × 131072)
    floor (59875.5)     		ty = 59875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76257 / 59875 ti = "17/76257/59875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76257/59875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76257 ÷ 217
    76257 ÷ 131072     		x = 0.581794738769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59875 ÷ 217
    59875 ÷ 131072     		y = 0.456809997558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581794738769531 × 2 - 1) × π
    0.163589477539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.51393150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456809997558594 × 2 - 1) × π
    0.0863800048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.271370788749138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51393150} λ = 0.51393150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.271370788749138))-π/2
    2×atan(1.31176136657872)-π/2
    2×0.919448217252097-π/2
    1.83889643450419-1.57079632675     		φ = 0.26810011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51393150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.446106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26810011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.361005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76257 KachelY 59875 0.51393150 0.26810011 29.446106 15.361005
    Oben rechts KachelX + 1 76258 KachelY 59875 0.51397944 0.26810011 29.448853 15.361005
    Unten links KachelX 76257 KachelY + 1 59876 0.51393150 0.26805388 29.446106 15.358356
    Unten rechts KachelX + 1 76258 KachelY + 1 59876 0.51397944 0.26805388 29.448853 15.358356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26810011-0.26805388) × R
    4.62299999999805e-05 × 6371000     		dl = 294.531329999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26810011-0.26805388) × R
    4.62299999999805e-05 × 6371000     		dr = 294.531329999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51393150-0.51397944) × cos(0.26810011) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.964275917045753 × 6371000     		do = 294.514685527685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51393150-0.51397944) × cos(0.26805388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.964288162337589 × 6371000     		du = 294.518425555005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26810011)-sin(0.26805388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964275917045753-0.964288162337589)×R²
    abs(0.51397944-0.51393150)×1.2245291835189e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.2245291835189e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.2245291835189e-05×40589641000000     		ar = 86744.3528259722m²