Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76255 / 58635
↖ ↑ ↗
← N 18.617616°
E 29.440613°		 ← 289.38 m → N 18.617616°
E 29.443359°		 →
↑
289.43 m
↓
↑
289.43 m
↓
N 18.615013°
E 29.440613°		 ← 289.39 m →
83 758 m²		 N 18.615013°
E 29.443359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581783294677734 y=0.447353363037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581783294677734 × 217)
    floor (0.581783294677734 × 131072)
    floor (76255.5)     		tx = 76255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447353363037109 × 217)
    floor (0.447353363037109 × 131072)
    floor (58635.5)     		ty = 58635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76255 / 58635 ti = "17/76255/58635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76255/58635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76255 ÷ 217
    76255 ÷ 131072     		x = 0.581779479980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58635 ÷ 217
    58635 ÷ 131072     		y = 0.447349548339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581779479980469 × 2 - 1) × π
    0.163558959960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.51383563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447349548339844 × 2 - 1) × π
    0.105300903320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.330812544278007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51383563} λ = 0.51383563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.330812544278007))-π/2
    2×atan(1.39209881096004)-π/2
    2×0.947867513801995-π/2
    1.89573502760399-1.57079632675     		φ = 0.32493870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51383563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.440613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32493870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.617616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76255 KachelY 58635 0.51383563 0.32493870 29.440613 18.617616
    Oben rechts KachelX + 1 76256 KachelY 58635 0.51388356 0.32493870 29.443359 18.617616
    Unten links KachelX 76255 KachelY + 1 58636 0.51383563 0.32489327 29.440613 18.615013
    Unten rechts KachelX + 1 76256 KachelY + 1 58636 0.51388356 0.32489327 29.443359 18.615013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32493870-0.32489327) × R
    4.5430000000013e-05 × 6371000     		dl = 289.434530000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32493870-0.32489327) × R
    4.5430000000013e-05 × 6371000     		dr = 289.434530000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51383563-0.51388356) × cos(0.32493870) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.947670298262888 × 6371000     		do = 289.382526048438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51383563-0.51388356) × cos(0.32489327) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.947684800843982 × 6371000     		du = 289.386954586041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32493870)-sin(0.32489327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947670298262888-0.947684800843982)×R²
    abs(0.51388356-0.51383563)×1.45025810943666e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.45025810943666e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.45025810943666e-05×40589641000000     		ar = 83757.9363173566m²