Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76252 / 59969
↖ ↑ ↗
← N 15.111901°
E 29.432373°		 ← 294.80 m → N 15.111901°
E 29.435119°		 →
↑
294.85 m
↓
↑
294.85 m
↓
N 15.109249°
E 29.432373°		 ← 294.81 m →
86 923 m²		 N 15.109249°
E 29.435119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581760406494141 y=0.457530975341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581760406494141 × 217)
    floor (0.581760406494141 × 131072)
    floor (76252.5)     		tx = 76252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457530975341797 × 217)
    floor (0.457530975341797 × 131072)
    floor (59969.5)     		ty = 59969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76252 / 59969 ti = "17/76252/59969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76252/59969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76252 ÷ 217
    76252 ÷ 131072     		x = 0.581756591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59969 ÷ 217
    59969 ÷ 131072     		y = 0.457527160644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581756591796875 × 2 - 1) × π
    0.16351318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51369182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457527160644531 × 2 - 1) × π
    0.0849456787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.266864720184853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51369182} λ = 0.51369182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266864720184853))-π/2
    2×atan(1.30586377737064)-π/2
    2×0.917274380244623-π/2
    1.83454876048925-1.57079632675     		φ = 0.26375243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51369182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.432373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26375243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.111901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76252 KachelY 59969 0.51369182 0.26375243 29.432373 15.111901
    Oben rechts KachelX + 1 76253 KachelY 59969 0.51373975 0.26375243 29.435119 15.111901
    Unten links KachelX 76252 KachelY + 1 59970 0.51369182 0.26370615 29.432373 15.109249
    Unten rechts KachelX + 1 76253 KachelY + 1 59970 0.51373975 0.26370615 29.435119 15.109249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26375243-0.26370615) × R
    4.62800000000096e-05 × 6371000     		dl = 294.849880000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26375243-0.26370615) × R
    4.62800000000096e-05 × 6371000     		dr = 294.849880000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51369182-0.51373975) × cos(0.26375243) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.965418499892435 × 6371000     		do = 294.802152926889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51369182-0.51373975) × cos(0.26370615) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.965430564287991 × 6371000     		du = 294.805836935207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26375243)-sin(0.26370615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965418499892435-0.965430564287991)×R²
    abs(0.51373975-0.51369182)×1.20643955555666e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.20643955555666e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.20643955555666e-05×40589641000000     		ar = 86922.9225444824m²