Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76250 / 59965
↖ ↑ ↗
← N 15.122508°
E 29.426880°		 ← 294.85 m → N 15.122508°
E 29.429626°		 →
↑
294.85 m
↓
↑
294.85 m
↓
N 15.119856°
E 29.426880°		 ← 294.85 m →
86 937 m²		 N 15.119856°
E 29.429626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581745147705078 y=0.457500457763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581745147705078 × 217)
    floor (0.581745147705078 × 131072)
    floor (76250.5)     		tx = 76250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457500457763672 × 217)
    floor (0.457500457763672 × 131072)
    floor (59965.5)     		ty = 59965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76250 / 59965 ti = "17/76250/59965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76250/59965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76250 ÷ 217
    76250 ÷ 131072     		x = 0.581741333007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59965 ÷ 217
    59965 ÷ 131072     		y = 0.457496643066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581741333007812 × 2 - 1) × π
    0.163482666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51359594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457496643066406 × 2 - 1) × π
    0.0850067138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.267056467783333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51359594} λ = 0.51359594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.267056467783333))-π/2
    2×atan(1.30611419762187)-π/2
    2×0.917366936270007-π/2
    1.83473387254001-1.57079632675     		φ = 0.26393755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51359594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.426880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26393755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.122508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76250 KachelY 59965 0.51359594 0.26393755 29.426880 15.122508
    Oben rechts KachelX + 1 76251 KachelY 59965 0.51364388 0.26393755 29.429626 15.122508
    Unten links KachelX 76250 KachelY + 1 59966 0.51359594 0.26389127 29.426880 15.119856
    Unten rechts KachelX + 1 76251 KachelY + 1 59966 0.51364388 0.26389127 29.429626 15.119856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26393755-0.26389127) × R
    4.62800000000096e-05 × 6371000     		dl = 294.849880000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26393755-0.26389127) × R
    4.62800000000096e-05 × 6371000     		dr = 294.849880000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51359594-0.51364388) × cos(0.26393755) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.965370221632767 × 6371000     		do = 294.848914316641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51359594-0.51364388) × cos(0.26389127) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.965382294299249 × 6371000     		du = 294.852601619736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26393755)-sin(0.26389127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965370221632767-0.965382294299249)×R²
    abs(0.51364388-0.51359594)×1.20726664820658e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.20726664820658e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.20726664820658e-05×40589641000000     		ar = 86936.7106203229m²