Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7625 / 6087
↖ ↑ ↗
← N 74.191045°
W 96.229248°		 ← 332.81 m → N 74.191045°
W 96.218262°		 →
↑
332.82 m
↓
↑
332.82 m
↓
N 74.188052°
W 96.229248°		 ← 332.87 m →
110 777 m²		 N 74.188052°
W 96.218262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.232711791992188 y=0.185775756835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.232711791992188 × 215)
    floor (0.232711791992188 × 32768)
    floor (7625.5)     		tx = 7625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.185775756835938 × 215)
    floor (0.185775756835938 × 32768)
    floor (6087.5)     		ty = 6087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7625 / 6087 ti = "15/7625/6087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7625/6087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7625 ÷ 215
    7625 ÷ 32768     		x = 0.232696533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6087 ÷ 215
    6087 ÷ 32768     		y = 0.185760498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.232696533203125 × 2 - 1) × π
    -0.53460693359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.67951722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.185760498046875 × 2 - 1) × π
    0.62847900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.97442502155087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67951722} λ = -1.67951722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.97442502155087))-π/2
    2×atan(7.20247719385519)-π/2
    2×1.43283716835265-π/2
    2.8656743367053-1.57079632675     		φ = 1.29487801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67951722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.229248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29487801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.191045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7625 KachelY 6087 -1.67951722 1.29487801 -96.229248 74.191045
    Oben rechts KachelX + 1 7626 KachelY 6087 -1.67932547 1.29487801 -96.218262 74.191045
    Unten links KachelX 7625 KachelY + 1 6088 -1.67951722 1.29482577 -96.229248 74.188052
    Unten rechts KachelX + 1 7626 KachelY + 1 6088 -1.67932547 1.29482577 -96.218262 74.188052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29487801-1.29482577) × R
    5.22399999998147e-05 × 6371000     		dl = 332.821039998819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29487801-1.29482577) × R
    5.22399999998147e-05 × 6371000     		dr = 332.821039998819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67951722--1.67932547) × cos(1.29487801) × R
    0.000191749999999935 × 0.272430633556169 × 6371000     		do = 332.811954854471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67951722--1.67932547) × cos(1.29482577) × R
    0.000191749999999935 × 0.272480897228653 × 6371000     		du = 332.873358929626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29487801)-sin(1.29482577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.272430633556169-0.272480897228653)×R²
    abs(-1.67932547--1.67951722)×5.02636724836747e-05×R²
    0.000191749999999935×5.02636724836747e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.02636724836747e-05×40589641000000     		ar = 110777.039248507m²