Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7625 / 4242
↖ ↑ ↗
← N 65.201468°
W 12.458496°		 ← 1 024.78 m → N 65.201468°
W 12.436523°		 →
↑
1 024.97 m
↓
↑
1 024.97 m
↓
N 65.192251°
W 12.458496°		 ← 1 025.14 m →
1 050 549 m²		 N 65.192251°
W 12.436523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465423583984375 y=0.258941650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465423583984375 × 214)
    floor (0.465423583984375 × 16384)
    floor (7625.5)     		tx = 7625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258941650390625 × 214)
    floor (0.258941650390625 × 16384)
    floor (4242.5)     		ty = 4242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7625 / 4242 ti = "14/7625/4242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7625/4242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7625 ÷ 214
    7625 ÷ 16384     		x = 0.46539306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4242 ÷ 214
    4242 ÷ 16384     		y = 0.2589111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46539306640625 × 2 - 1) × π
    -0.0692138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21744178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2589111328125 × 2 - 1) × π
    0.482177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51480602799377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21744178} λ = -0.21744178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51480602799377))-π/2
    2×atan(4.54853875208327)-π/2
    2×1.35438831393155-π/2
    2.7087766278631-1.57079632675     		φ = 1.13798030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21744178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.458496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13798030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.201468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7625 KachelY 4242 -0.21744178 1.13798030 -12.458496 65.201468
    Oben rechts KachelX + 1 7626 KachelY 4242 -0.21705828 1.13798030 -12.436523 65.201468
    Unten links KachelX 7625 KachelY + 1 4243 -0.21744178 1.13781942 -12.458496 65.192251
    Unten rechts KachelX + 1 7626 KachelY + 1 4243 -0.21705828 1.13781942 -12.436523 65.192251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13798030-1.13781942) × R
    0.000160879999999919 × 6371000     		dl = 1024.96647999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13798030-1.13781942) × R
    0.000160879999999919 × 6371000     		dr = 1024.96647999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21744178--0.21705828) × cos(1.13798030) × R
    0.000383500000000009 × 0.419428818059824 × 6371000     		do = 1024.781413446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21744178--0.21705828) × cos(1.13781942) × R
    0.000383500000000009 × 0.41957485760138 × 6371000     		du = 1025.13822871804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13798030)-sin(1.13781942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419428818059824-0.41957485760138)×R²
    abs(-0.21705828--0.21744178)×0.000146039541555842×R²
    0.000383500000000009×0.000146039541555842×6371000²
    0.000383500000000009×0.000146039541555842×40589641000000     		ar = 1050549.46222085m²