Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76247 / 59947
↖ ↑ ↗
← N 15.170229°
E 29.418640°		 ← 294.78 m → N 15.170229°
E 29.421387°		 →
↑
294.79 m
↓
↑
294.79 m
↓
N 15.167578°
E 29.418640°		 ← 294.79 m →
86 898 m²		 N 15.167578°
E 29.421387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581722259521484 y=0.457363128662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581722259521484 × 217)
    floor (0.581722259521484 × 131072)
    floor (76247.5)     		tx = 76247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457363128662109 × 217)
    floor (0.457363128662109 × 131072)
    floor (59947.5)     		ty = 59947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76247 / 59947 ti = "17/76247/59947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76247/59947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76247 ÷ 217
    76247 ÷ 131072     		x = 0.581718444824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59947 ÷ 217
    59947 ÷ 131072     		y = 0.457359313964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581718444824219 × 2 - 1) × π
    0.163436889648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.51345213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457359313964844 × 2 - 1) × π
    0.0852813720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.267919331976494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51345213} λ = 0.51345213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.267919331976494))-π/2
    2×atan(1.30724168315867)-π/2
    2×0.917783381046897-π/2
    1.83556676209379-1.57079632675     		φ = 0.26477044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51345213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.418640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26477044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.170229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76247 KachelY 59947 0.51345213 0.26477044 29.418640 15.170229
    Oben rechts KachelX + 1 76248 KachelY 59947 0.51350007 0.26477044 29.421387 15.170229
    Unten links KachelX 76247 KachelY + 1 59948 0.51345213 0.26472417 29.418640 15.167578
    Unten rechts KachelX + 1 76248 KachelY + 1 59948 0.51350007 0.26472417 29.421387 15.167578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26477044-0.26472417) × R
    4.62700000000149e-05 × 6371000     		dl = 294.786170000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26477044-0.26472417) × R
    4.62700000000149e-05 × 6371000     		dr = 294.786170000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51345213-0.51350007) × cos(0.26477044) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965152599343276 × 6371000     		do = 294.78244686715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51345213-0.51350007) × cos(0.26472417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965164706600673 × 6371000     		du = 294.7861447352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26477044)-sin(0.26472417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965152599343276-0.965164706600673)×R²
    abs(0.51350007-0.51345213)×1.21072573971981e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.21072573971981e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.21072573971981e-05×40589641000000     		ar = 86898.3335508847m²