Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76245 / 59954
↖ ↑ ↗
← N 15.151672°
E 29.413147°		 ← 294.75 m → N 15.151672°
E 29.415893°		 →
↑
294.79 m
↓
↑
294.79 m
↓
N 15.149021°
E 29.413147°		 ← 294.75 m →
86 888 m²		 N 15.149021°
E 29.415893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581707000732422 y=0.457416534423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581707000732422 × 217)
    floor (0.581707000732422 × 131072)
    floor (76245.5)     		tx = 76245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457416534423828 × 217)
    floor (0.457416534423828 × 131072)
    floor (59954.5)     		ty = 59954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76245 / 59954 ti = "17/76245/59954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76245/59954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76245 ÷ 217
    76245 ÷ 131072     		x = 0.581703186035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59954 ÷ 217
    59954 ÷ 131072     		y = 0.457412719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581703186035156 × 2 - 1) × π
    0.163406372070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.51335626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457412719726562 × 2 - 1) × π
    0.085174560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.267583773679153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51335626} λ = 0.51335626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.267583773679153))-π/2
    2×atan(1.30680310095432)-π/2
    2×0.917621441458093-π/2
    1.83524288291619-1.57079632675     		φ = 0.26444656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51335626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.413147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26444656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.151672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76245 KachelY 59954 0.51335626 0.26444656 29.413147 15.151672
    Oben rechts KachelX + 1 76246 KachelY 59954 0.51340419 0.26444656 29.415893 15.151672
    Unten links KachelX 76245 KachelY + 1 59955 0.51335626 0.26440029 29.413147 15.149021
    Unten rechts KachelX + 1 76246 KachelY + 1 59955 0.51340419 0.26440029 29.415893 15.149021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26444656-0.26440029) × R
    4.62700000000149e-05 × 6371000     		dl = 294.786170000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26444656-0.26440029) × R
    4.62700000000149e-05 × 6371000     		dr = 294.786170000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51335626-0.51340419) × cos(0.26444656) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.965237304137393 × 6371000     		do = 294.746822623302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51335626-0.51340419) × cos(0.26440029) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.965249396930358 × 6371000     		du = 294.75051530311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26444656)-sin(0.26440029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965237304137393-0.965249396930358)×R²
    abs(0.51340419-0.51335626)×1.20927929646575e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.20927929646575e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.20927929646575e-05×40589641000000     		ar = 86887.8312518179m²