Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76245 / 59943
↖ ↑ ↗
← N 15.180832°
E 29.413147°		 ← 294.71 m → N 15.180832°
E 29.415893°		 →
↑
294.79 m
↓
↑
294.79 m
↓
N 15.178181°
E 29.413147°		 ← 294.71 m →
86 876 m²		 N 15.178181°
E 29.415893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581707000732422 y=0.457332611083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581707000732422 × 217)
    floor (0.581707000732422 × 131072)
    floor (76245.5)     		tx = 76245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457332611083984 × 217)
    floor (0.457332611083984 × 131072)
    floor (59943.5)     		ty = 59943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76245 / 59943 ti = "17/76245/59943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76245/59943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76245 ÷ 217
    76245 ÷ 131072     		x = 0.581703186035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59943 ÷ 217
    59943 ÷ 131072     		y = 0.457328796386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581703186035156 × 2 - 1) × π
    0.163406372070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.51335626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457328796386719 × 2 - 1) × π
    0.0853424072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.268111079574974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51335626} λ = 0.51335626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.268111079574974))-π/2
    2×atan(1.30749236764535)-π/2
    2×0.917875911571515-π/2
    1.83575182314303-1.57079632675     		φ = 0.26495550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51335626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.413147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26495550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.180832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76245 KachelY 59943 0.51335626 0.26495550 29.413147 15.180832
    Oben rechts KachelX + 1 76246 KachelY 59943 0.51340419 0.26495550 29.415893 15.180832
    Unten links KachelX 76245 KachelY + 1 59944 0.51335626 0.26490923 29.413147 15.178181
    Unten rechts KachelX + 1 76246 KachelY + 1 59944 0.51340419 0.26490923 29.415893 15.178181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26495550-0.26490923) × R
    4.62700000000149e-05 × 6371000     		dl = 294.786170000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26495550-0.26490923) × R
    4.62700000000149e-05 × 6371000     		dr = 294.786170000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51335626-0.51340419) × cos(0.26495550) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.965104154888197 × 6371000     		do = 294.706163898275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51335626-0.51340419) × cos(0.26490923) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.965116270409776 × 6371000     		du = 294.709863518538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26495550)-sin(0.26490923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965104154888197-0.965116270409776)×R²
    abs(0.51340419-0.51335626)×1.21155215790925e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.21155215790925e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.21155215790925e-05×40589641000000     		ar = 86875.8466449437m²