Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76241 / 59941
↖ ↑ ↗
← N 15.186133°
E 29.402161°		 ← 294.76 m → N 15.186133°
E 29.404907°		 →
↑
294.72 m
↓
↑
294.72 m
↓
N 15.183482°
E 29.402161°		 ← 294.76 m →
86 873 m²		 N 15.183482°
E 29.404907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581676483154297 y=0.457317352294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581676483154297 × 217)
    floor (0.581676483154297 × 131072)
    floor (76241.5)     		tx = 76241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457317352294922 × 217)
    floor (0.457317352294922 × 131072)
    floor (59941.5)     		ty = 59941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76241 / 59941 ti = "17/76241/59941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76241/59941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76241 ÷ 217
    76241 ÷ 131072     		x = 0.581672668457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59941 ÷ 217
    59941 ÷ 131072     		y = 0.457313537597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581672668457031 × 2 - 1) × π
    0.163345336914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.51316451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457313537597656 × 2 - 1) × π
    0.0853729248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.268206953374214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51316451} λ = 0.51316451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.268206953374214))-π/2
    2×atan(1.30761772791541)-π/2
    2×0.917922175091739-π/2
    1.83584435018348-1.57079632675     		φ = 0.26504802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51316451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.402161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26504802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.186133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76241 KachelY 59941 0.51316451 0.26504802 29.402161 15.186133
    Oben rechts KachelX + 1 76242 KachelY 59941 0.51321245 0.26504802 29.404907 15.186133
    Unten links KachelX 76241 KachelY + 1 59942 0.51316451 0.26500176 29.402161 15.183482
    Unten rechts KachelX + 1 76242 KachelY + 1 59942 0.51321245 0.26500176 29.404907 15.183482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26504802-0.26500176) × R
    4.62600000000202e-05 × 6371000     		dl = 294.722460000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26504802-0.26500176) × R
    4.62600000000202e-05 × 6371000     		dr = 294.722460000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51316451-0.51321245) × cos(0.26504802) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.965079922885565 × 6371000     		do = 294.760249606956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51316451-0.51321245) × cos(0.26500176) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.965092039919524 × 6371000     		du = 294.763950461019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26504802)-sin(0.26500176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965079922885565-0.965092039919524)×R²
    abs(0.51321245-0.51316451)×1.21170339583143e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.21170339583143e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.21170339583143e-05×40589641000000     		ar = 86873.0112523081m²