Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76240 / 58512
↖ ↑ ↗
← N 18.937465°
E 29.399414°		 ← 288.89 m → N 18.937465°
E 29.402161°		 →
↑
288.92 m
↓
↑
288.92 m
↓
N 18.934866°
E 29.399414°		 ← 288.90 m →
83 469 m²		 N 18.934866°
E 29.402161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581668853759766 y=0.446414947509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581668853759766 × 217)
    floor (0.581668853759766 × 131072)
    floor (76240.5)     		tx = 76240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446414947509766 × 217)
    floor (0.446414947509766 × 131072)
    floor (58512.5)     		ty = 58512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76240 / 58512 ti = "17/76240/58512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76240/58512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76240 ÷ 217
    76240 ÷ 131072     		x = 0.5816650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58512 ÷ 217
    58512 ÷ 131072     		y = 0.4464111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5816650390625 × 2 - 1) × π
    0.163330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51311657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4464111328125 × 2 - 1) × π
    0.107177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.336708782931274
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51311657} λ = 0.51311657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.336708782931274))-π/2
    2×atan(1.40033120400508)-π/2
    2×0.950658716531177-π/2
    1.90131743306235-1.57079632675     		φ = 0.33052111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51311657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.399414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33052111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.937465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76240 KachelY 58512 0.51311657 0.33052111 29.399414 18.937465
    Oben rechts KachelX + 1 76241 KachelY 58512 0.51316451 0.33052111 29.402161 18.937465
    Unten links KachelX 76240 KachelY + 1 58513 0.51311657 0.33047576 29.399414 18.934866
    Unten rechts KachelX + 1 76241 KachelY + 1 58513 0.51316451 0.33047576 29.402161 18.934866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33052111-0.33047576) × R
    4.53499999999996e-05 × 6371000     		dl = 288.924849999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33052111-0.33047576) × R
    4.53499999999996e-05 × 6371000     		dr = 288.924849999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51311657-0.51316451) × cos(0.33052111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945873353021942 × 6371000     		do = 288.894068792819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51311657-0.51316451) × cos(0.33047576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945888069755819 × 6371000     		du = 288.898563662153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33052111)-sin(0.33047576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945873353021942-0.945888069755819)×R²
    abs(0.51316451-0.51311657)×1.47167338769849e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47167338769849e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47167338769849e-05×40589641000000     		ar = 83469.3248458686m²