Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7624 / 5035
↖ ↑ ↗
← N 56.812907°
W 12.480469°		 ← 1 337.35 m → N 56.812907°
W 12.458496°		 →
↑
1 337.59 m
↓
↑
1 337.59 m
↓
N 56.800878°
W 12.480469°		 ← 1 337.78 m →
1 789 120 m²		 N 56.800878°
W 12.458496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465362548828125 y=0.307342529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465362548828125 × 214)
    floor (0.465362548828125 × 16384)
    floor (7624.5)     		tx = 7624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307342529296875 × 214)
    floor (0.307342529296875 × 16384)
    floor (5035.5)     		ty = 5035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7624 / 5035 ti = "14/7624/5035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7624/5035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7624 ÷ 214
    7624 ÷ 16384     		x = 0.46533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5035 ÷ 214
    5035 ÷ 16384     		y = 0.30731201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46533203125 × 2 - 1) × π
    -0.0693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21782527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30731201171875 × 2 - 1) × π
    0.3853759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21069433680414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21782527} λ = -0.21782527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21069433680414))-π/2
    2×atan(3.35581390891603)-π/2
    2×1.28118431030416-π/2
    2.56236862060832-1.57079632675     		φ = 0.99157229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21782527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.480469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99157229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.812907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7624 KachelY 5035 -0.21782527 0.99157229 -12.480469 56.812907
    Oben rechts KachelX + 1 7625 KachelY 5035 -0.21744178 0.99157229 -12.458496 56.812907
    Unten links KachelX 7624 KachelY + 1 5036 -0.21782527 0.99136234 -12.480469 56.800878
    Unten rechts KachelX + 1 7625 KachelY + 1 5036 -0.21744178 0.99136234 -12.458496 56.800878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99157229-0.99136234) × R
    0.000209950000000014 × 6371000     		dl = 1337.59145000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99157229-0.99136234) × R
    0.000209950000000014 × 6371000     		dr = 1337.59145000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21782527--0.21744178) × cos(0.99157229) × R
    0.000383489999999986 × 0.547374707630456 × 6371000     		do = 1337.35398135461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21782527--0.21744178) × cos(0.99136234) × R
    0.000383489999999986 × 0.547550400126254 × 6371000     		du = 1337.78323585883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99157229)-sin(0.99136234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547374707630456-0.547550400126254)×R²
    abs(-0.21744178--0.21782527)×0.000175692495797741×R²
    0.000383489999999986×0.000175692495797741×6371000²
    0.000383489999999986×0.000175692495797741×40589641000000     		ar = 1789120.34123305m²