Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76239 / 58737
↖ ↑ ↗
← N 18.351918°
E 29.396668°		 ← 289.83 m → N 18.351918°
E 29.399414°		 →
↑
289.82 m
↓
↑
289.82 m
↓
N 18.349312°
E 29.396668°		 ← 289.84 m →
83 999 m²		 N 18.349312°
E 29.399414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581661224365234 y=0.448131561279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581661224365234 × 217)
    floor (0.581661224365234 × 131072)
    floor (76239.5)     		tx = 76239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448131561279297 × 217)
    floor (0.448131561279297 × 131072)
    floor (58737.5)     		ty = 58737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76239 / 58737 ti = "17/76239/58737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76239/58737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76239 ÷ 217
    76239 ÷ 131072     		x = 0.581657409667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58737 ÷ 217
    58737 ÷ 131072     		y = 0.448127746582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581657409667969 × 2 - 1) × π
    0.163314819335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.51306864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448127746582031 × 2 - 1) × π
    0.103744506835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.325922980516762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51306864} λ = 0.51306864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.325922980516762))-π/2
    2×atan(1.38530866900604)-π/2
    2×0.945548865699069-π/2
    1.89109773139814-1.57079632675     		φ = 0.32030140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51306864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.396668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32030140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.351918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76239 KachelY 58737 0.51306864 0.32030140 29.396668 18.351918
    Oben rechts KachelX + 1 76240 KachelY 58737 0.51311657 0.32030140 29.399414 18.351918
    Unten links KachelX 76239 KachelY + 1 58738 0.51306864 0.32025591 29.396668 18.349312
    Unten rechts KachelX + 1 76240 KachelY + 1 58738 0.51311657 0.32025591 29.399414 18.349312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32030140-0.32025591) × R
    4.54900000000369e-05 × 6371000     		dl = 289.816790000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32030140-0.32025591) × R
    4.54900000000369e-05 × 6371000     		dr = 289.816790000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51306864-0.51311657) × cos(0.32030140) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.949140564607304 × 6371000     		do = 289.83148956401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51306864-0.51311657) × cos(0.32025591) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.949154886272113 × 6371000     		du = 289.835862856649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32030140)-sin(0.32025591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949140564607304-0.949154886272113)×R²
    abs(0.51311657-0.51306864)×1.43216648087474e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.43216648087474e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.43216648087474e-05×40589641000000     		ar = 83998.6656877257m²