Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76238 / 59959
↖ ↑ ↗
← N 15.138416°
E 29.393921°		 ← 294.83 m → N 15.138416°
E 29.396668°		 →
↑
294.85 m
↓
↑
294.85 m
↓
N 15.135764°
E 29.393921°		 ← 294.83 m →
86 930 m²		 N 15.135764°
E 29.396668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581653594970703 y=0.457454681396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581653594970703 × 217)
    floor (0.581653594970703 × 131072)
    floor (76238.5)     		tx = 76238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457454681396484 × 217)
    floor (0.457454681396484 × 131072)
    floor (59959.5)     		ty = 59959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76238 / 59959 ti = "17/76238/59959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76238/59959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76238 ÷ 217
    76238 ÷ 131072     		x = 0.581649780273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59959 ÷ 217
    59959 ÷ 131072     		y = 0.457450866699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581649780273438 × 2 - 1) × π
    0.163299560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51302070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457450866699219 × 2 - 1) × π
    0.0850982666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.267344089181053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51302070} λ = 0.51302070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.267344089181053))-π/2
    2×atan(1.306489918043)-π/2
    2×0.917505761626117-π/2
    1.83501152325223-1.57079632675     		φ = 0.26421520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51302070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.393921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26421520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.138416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76238 KachelY 59959 0.51302070 0.26421520 29.393921 15.138416
    Oben rechts KachelX + 1 76239 KachelY 59959 0.51306864 0.26421520 29.396668 15.138416
    Unten links KachelX 76238 KachelY + 1 59960 0.51302070 0.26416892 29.393921 15.135764
    Unten rechts KachelX + 1 76239 KachelY + 1 59960 0.51306864 0.26416892 29.396668 15.135764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26421520-0.26416892) × R
    4.62800000000096e-05 × 6371000     		dl = 294.849880000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26421520-0.26416892) × R
    4.62800000000096e-05 × 6371000     		dr = 294.849880000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51302070-0.51306864) × cos(0.26421520) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965297750048327 × 6371000     		do = 294.826779628652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51302070-0.51306864) × cos(0.26416892) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965309835119083 × 6371000     		du = 294.83047072033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26421520)-sin(0.26416892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965297750048327-0.965309835119083)×R²
    abs(0.51306864-0.51302070)×1.20850707558962e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.20850707558962e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.20850707558962e-05×40589641000000     		ar = 86930.1847689003m²