Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76237 / 58513
↖ ↑ ↗
← N 18.934866°
E 29.391174°		 ← 288.90 m → N 18.934866°
E 29.393921°		 →
↑
288.86 m
↓
↑
288.86 m
↓
N 18.932268°
E 29.391174°		 ← 288.90 m →
83 452 m²		 N 18.932268°
E 29.393921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581645965576172 y=0.446422576904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581645965576172 × 217)
    floor (0.581645965576172 × 131072)
    floor (76237.5)     		tx = 76237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446422576904297 × 217)
    floor (0.446422576904297 × 131072)
    floor (58513.5)     		ty = 58513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76237 / 58513 ti = "17/76237/58513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76237/58513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76237 ÷ 217
    76237 ÷ 131072     		x = 0.581642150878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58513 ÷ 217
    58513 ÷ 131072     		y = 0.446418762207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581642150878906 × 2 - 1) × π
    0.163284301757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.51297276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446418762207031 × 2 - 1) × π
    0.107162475585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.336660846031654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51297276} λ = 0.51297276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.336660846031654))-π/2
    2×atan(1.40026407807764)-π/2
    2×0.950636045236816-π/2
    1.90127209047363-1.57079632675     		φ = 0.33047576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51297276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.391174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33047576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.934866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76237 KachelY 58513 0.51297276 0.33047576 29.391174 18.934866
    Oben rechts KachelX + 1 76238 KachelY 58513 0.51302070 0.33047576 29.393921 18.934866
    Unten links KachelX 76237 KachelY + 1 58514 0.51297276 0.33043042 29.391174 18.932268
    Unten rechts KachelX + 1 76238 KachelY + 1 58514 0.51302070 0.33043042 29.393921 18.932268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33047576-0.33043042) × R
    4.53400000000048e-05 × 6371000     		dl = 288.861140000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33047576-0.33043042) × R
    4.53400000000048e-05 × 6371000     		dr = 288.861140000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51297276-0.51302070) × cos(0.33047576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945888069755819 × 6371000     		do = 288.898563662153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51297276-0.51302070) × cos(0.33043042) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94590278129986 × 6371000     		du = 288.903056946378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33047576)-sin(0.33043042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945888069755819-0.94590278129986)×R²
    abs(0.51302070-0.51297276)×1.47115440405354e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47115440405354e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47115440405354e-05×40589641000000     		ar = 83452.2174257986m²