Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76235 / 59929
↖ ↑ ↗
← N 15.217939°
E 29.385681°		 ← 294.72 m → N 15.217939°
E 29.388428°		 →
↑
294.72 m
↓
↑
294.72 m
↓
N 15.215288°
E 29.385681°		 ← 294.72 m →
86 860 m²		 N 15.215288°
E 29.388428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581630706787109 y=0.457225799560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581630706787109 × 217)
    floor (0.581630706787109 × 131072)
    floor (76235.5)     		tx = 76235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457225799560547 × 217)
    floor (0.457225799560547 × 131072)
    floor (59929.5)     		ty = 59929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76235 / 59929 ti = "17/76235/59929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76235/59929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76235 ÷ 217
    76235 ÷ 131072     		x = 0.581626892089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59929 ÷ 217
    59929 ÷ 131072     		y = 0.457221984863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581626892089844 × 2 - 1) × π
    0.163253784179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.51287689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457221984863281 × 2 - 1) × π
    0.0855560302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.268782196169655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51287689} λ = 0.51287689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.268782196169655))-π/2
    2×atan(1.30837014198222)-π/2
    2×0.918199731800791-π/2
    1.83639946360158-1.57079632675     		φ = 0.26560314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51287689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.385681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26560314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.217939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76235 KachelY 59929 0.51287689 0.26560314 29.385681 15.217939
    Oben rechts KachelX + 1 76236 KachelY 59929 0.51292483 0.26560314 29.388428 15.217939
    Unten links KachelX 76235 KachelY + 1 59930 0.51287689 0.26555688 29.385681 15.215288
    Unten rechts KachelX + 1 76236 KachelY + 1 59930 0.51292483 0.26555688 29.388428 15.215288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26560314-0.26555688) × R
    4.62600000000202e-05 × 6371000     		dl = 294.722460000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26560314-0.26555688) × R
    4.62600000000202e-05 × 6371000     		dr = 294.722460000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51287689-0.51292483) × cos(0.26560314) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.964934357395279 × 6371000     		do = 294.715790158684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51287689-0.51292483) × cos(0.26555688) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.964946499210634 × 6371000     		du = 294.719498581624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26560314)-sin(0.26555688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964934357395279-0.964946499210634)×R²
    abs(0.51292483-0.51287689)×1.21418153543607e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.21418153543607e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.21418153543607e-05×40589641000000     		ar = 86859.9091697294m²